Kompleksni brojevi zadaci je interaktivni aplet iz kog možete da naučite kako da:
- prevedete kompleksan broj iz algebarskog u trigonometrijski oblik,
- Izračunate stepen kompleksnog broja,
- izračunate koren kompleksnog broja,
- rešavate jednačine čija je nezavisna promenjljiva kompleksan broj.
Neka je dat kompleksan broj u algebarskom obliku \(z=x+yi ,~~ x=Re(z), ~~y=Im(z) , i^2=-1\).
\( \cos\varphi=\frac{x}{r}, \)
\( \sin\varphi=\frac{y}{r}\)
\( tg\varphi=\frac{y}{r} \)
\( x=\frac{r}{\cos\varphi} \)
\( y=\frac{r}{sin\varphi} \)
\( \varphi=\arctan\frac{y}{x} \)
trigonometrijski oblik kompleksnog broja
\( z=r\cos\varphi+ir\sin \varphi\)
\(z=r(\cos \varphi+i\sin\varphi).\)
Kako su trigonometrijske funkcije periodične to kompleksni broj možemo pisati kao
\( z=r(\cos (\varphi+2k\pi)+i\sin (\varphi+2k\pi)) \)
\( x^2+y^2=r^2\cos^2 \varphi+r^2\sin^2 \varphi=r^2(\cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi)=r^2\)
\( r \) je moduo kompleksonog broja.
Stepenovanje kompleksnih brojeva}\\
\( z^n=r^n ( \cos n\varphi+i \sin n\varphi )\) Moavrov obrazac.
Koren komplesnog broja \( \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{ρ} (cos (\frac{φ+2k π }{n}) +i sin(\frac{φ+2k π }{n}))\)
, (n-1). rešenje dobijamo za k=0,1,2,…,(n-1) .
Na apletu Kompleksni brojevi zadaci 2 trigonometrijski oblik nalaze se rešenja zadataka .Prikaz apleta na celom ekranu dobijate klikom na ikonici u donjem desnom uglu
. Povratak u pretohodan rezim rada taster Esc.