Jednačine u kojima se nepoznata nalazi u izrazu koji je pod korenom, nazivaju se iracionalne jednačine. Za iracionalnu jednačinu oblika \( \sqrt{P(x)}=Q(x) \) važi : \( \sqrt{P(x)}=q(x) \iff \big(P(x)=Q^2(x)\big) \land P(x)\ge 0 \land Q(x)\ge 0 \).
Savet :Za jednačinu oblika \( P(x) \pm Q(x)=0 \) treba najpre odrediti zajedničku oblast definisanosti izraza P(x) i Q(x). Zatim, može da se primeni prethodna teorema. Skup rešenja jednačine je podskup skupa preseka oblasti definisanosti tih izraza
Problem u rešavanju iracionalnih jednačina, predstavlja koren i sve metode za rešavanje iracionalnih jednačina u svojoj osnovi imaju oslobađanje od korena, pod uslovima koji obezbeđuju da podkorena veličina vaća ili jednaka 0. Rešenja iracionalnih jednačina nalazimo u skupu realnih brojeva, zato je neophodno odrediti oblast definisanosti korena .
Jednačine u kojima se nepoznata nalazi u izrazu koji je pod korenom, nazivaju se iracionalne jednačine
Za iracionalnu jednačinu oblika \( \sqrt{P(x)}=Q(x) \) važi : \( \sqrt{P(x)}=q(x) \iff \big(P(x)=Q^2(x)\big) \land P(x)\ge 0\land Q(x)\ge 0.\)
Savet :Za jednačinu oblika \( P(x) \pm Q(x)=0 \) treba najpre odrediti zajedničku oblast definisanosti izraza \(P(x) i Q(x). \)Zatim, može da se primeni prethodna teorema.
Skup rešenja jednačine je podskup skupa preseka oblasti definisanosti tih izraza.
Problem u rešavanju iracionalnih jednačina, predstavlja koren i sve metode za rešavanje iracionalnih jednačina
u svojoj osnovi imaju oslobađanje od korena, pod uslovima koji obezbeđuju da podkorena veličina vaća ili jednaka 0. Rešenja iracionalnih jednačina nalazimo u skupu realnih brojeva, zato je neophodno odrediti oblast definisanosti korena.
Primer 1.
Reši jednačinu \( 1+\sqrt{x^2-9}=x\)
\( \sqrt{x^2-9}=x-1 \) Odredićemo oblast definisanosti korena.
\( x^2-9\ge0 \)
Na slici je prikazan grafik funkcije \( y=x^2-9\)
Parabola seče x-osu u takama (3,0) i (-3,0) ,
vrednosti fukcije veće od 0 su na intervalu \( x\in (-\infty ,-3) \cup (3,\infty) \)
kvadriraćemo levu i desnu stranu jednačine
\( x^2-9=(x-1)^2\)
\(x^2-9=x^2+2x+1\)
\(2x=10\)
\(x=5\)
Primer 2:
Reši jednačinu\( \sqrt{4+x\sqrt{}x^2-7}=4\)
Sa desne strane je izraz koji je pozitivan pa možemo izvršiti kvadriranje
\( 4+x\sqrt{x^2-7}=16\)
\( x\sqrt{x^2-7}=12 \) još jedno kvadriranje oslobodiće nas korena
\( x^2(x^2-7)=144 \) dobijamo jednačinu četvrtog stepena
\( x^4-7x^2-144=0 \) uvodimo smenu
\( x^2=t\)
\( t^2-7t-144=0 \) rešavamo kvadratnu jednačinu
\( t_{1,2}=\frac {7 \pm \sqrt{49+4\cdot 144}}{2}\)
\( t_1 =16,~~ t_2=-9\)
\( x_{1,2}=\sqrt{16} \in R, ~~ x_{3,4}=\sqrt{-9} \not \in R\)
Dobili smo dva realna rešenja \(x_1=\pm4\) Oba rešenja vraćamo u polaznu jednačinu za \( x=-4\) jednakost se transformiše u
\( \sqrt{4+(-4)\sqrt{(-4)^2-7}} =4\)
\( \sqrt{4-12}=4 \) jednakost nije tačna pa x=-4 nije rešenje date jednačine
za x=4 jednakost se transformiše u
\( \sqrt{4+4\sqrt{(-4)^2-7}}=4\)
\( \sqrt{4+12}=4\)
\( 4=4 \) Zaključijemo da x=4 jeste rešenje iracionalne jednačine
