Iracionalne nejednačine -teorema
I: \( \sqrt{A(x)} \le B(x) \iff A(x)\le \big(B(x)\big)^2\land 0 \le A(x) \land 0 \le B(x) \)
II: \( \sqrt{A(x)} \ge B(x) \iff \Big (A(x) \ge \big (B(x) \big)^2 \land 0 \le B(x) \Big) \lor \big (0 \le A(x) \land 0 \ge B(x) \big) \)
III: \( \sqrt{A(x)} < B(x) \iff A(x)< \big(B(x)\big)^2 \land 0 \le A(x) \land 0 < B(x) \)
IV: \( \sqrt{A(x)} > B(x) \iff \Big (A(x) >\big (B(x) \big)^2 \land 0 < B(x) \Big) \lor \big (0 \le A(x) \land 0 > B(x) \big) \)
Iracionalne nejednačine-primeri
Primer 1. Reši nejednačinu \( \sqrt{x+6}<x-6 \)
Predstavimo grafički levu i desnu stranu nejednakosti. Narandžasta oblast predstavlja rešenje nejednačine.
Zelena linija je leva strana nejednakosti i vidimo da je definisana za x>-6. To je obast definisanosti korena i najčešće se najpre izračuna. Desna strana nejednakosti je linearna funkcija- plava linija koja je difinisan za ∀x∈R. Rešenje iracionalne nejednačine biće podskup preseka analiziranih oblasti definisanosti.
Ovom primru odgovara stav III navedene teoreme.
\( \sqrt{A(x)} < B(x) \iff A(x)< \big(B(x)\big)^2 \land 0 \le A(x) \land 0 < B(x) \)
\( A(x)=x+6 \land B(x)=x-6\)
\( \sqrt{x+6}<x-6 \iff x+6< \big(x-6\big)^2 \land 0 \le x+6 \land 0 < x-6 \)
Najpre određujemo definisanost iracionalne nejednačine.
\( x+6 \ge 0 \iff x \ge -6 \iff\) x∈[-6,∝)
\( x-6>0 \iff x>6 \iff\)x∈(6,∝)
Presek ova dva intervala je x∈(6,∝) je rešenje date nejednačine.
Sledi kvadriranje leve i desne strane Iracionalne nejednačine.
\( x+6< (x-6)^2 \iff x+6<x^2-12x+36 \iff x^2-13x+30>0\)
\( x_{1,2}=\frac{13 \pm \sqrt{169-120}}{2}=\frac{13 \pm 7}{2}\)
\( x_1=3 \land x_2=10\)
Skiciraćemo parabolu da bi lakše odredili njen znak.
Ova parabola je veća od nule na intervalu (-∝,3)∪(10,∝)
presek intervala (-∝,3)∪(10,∝)∩x∈(6,∝) je x∈ (10,∝)
Primer 2. Reši nejednačinu \( \sqrt{x+7}>2x-1 \).
\( A(x)=x+7 \land B(x)=2x-1 \)
Ovom primeru odgovara IV stav navedene teoreme. Odredićemo najpre, oblast defiisanosti korena.
\( x+7 \ge 0 \)
\( x \ge-7 \) Oblast definisanosti D_f:
Rešićemo najpre \( \big (0 \le A(x) \land 0 > B(x) \big) \) desne strane disjunkcije IV stava.
\(0 \le A(x) \iff x+7 \ge 0 \iff x \ge-7 \iff \) x∈[-7,∝)
\(B(x)<0 \iff 2x-1<0 \iff 2x<1 \iff x<\frac{1}{2}\iff \) x∈[-∝, \( \frac{1}{2}\))
Odredićemo presek intervala x∈[-7,∝)∩x∈[-∝, \( \frac{1}{2}\)) ⇔ x∈[-7,\( \frac{1}{2}\)) koji je rešenje desne strane disjunkcije – stav IV.
U nastavku radimo levu stranu disjunkcije IV stava.
\( A(x)> \big( B(x) \big)^2 \land 0 < B(x) \)
\( B(x)>0 \iff x > \frac{1}{2} \iff\) x∈( \( \frac{1}{2}\),∝)
\( A(x)> \big( B(x) \big)^2 \iff x+7 > (2x-1)^2 \iff x+7> 4x^2-4x+1\)
\( 4x^2-5x-6<0 \)
\( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25+96}}{8}\)
\( x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{121}}{8}\)
\( x_{1,2}=\frac{5 \pm 11}{8}\)
\( x_1=2 \land x_2=-\frac{3}{4} \)
Parabola \( 4x^2-5x-6<0 \) je negativna na intervalu x∈\( \big( -\frac{3}{4}, 2 \big) \)
Presek intervala x∈( \( \frac{1}{2}\),∝)∩x∈\( \big( -\frac{3}{4}, 2 \big) \iff \)x∈[\( \frac{1}{2}\),2) je rešenje leve strane disjunkcije – stav IV.
Rešenje zadate nejednačine biće unija x∈\( \big( -\frac{3}{4}, 2 \big) \)∪x∈[-7,\( \frac{1}{2}\)) ⇔ x∈[-7,2)