Bikvadratna, binomna, trinomna, simetrična jednačina su jednačine koje se svode na kvadratnu.
Bikvadratna jednačina
bikvadratna jednačina je oblika \( ax^4+bx^2+c = 0 \) rešavamo je uvodeći smenu \(x^2 = t, x^4 = t^2 \)
bikvadratna jednačina postaje \( at^2+bt+c = 0 \)
rešenja su \( t_{1,2} = \frac{ -b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
odnosno \( x_{1,2} = \pm \sqrt{t_1},\qquad x_{3,4} = \pm \sqrt{t_2} \)
Primer 1: Reši jednačinu \( x^4-4x^2+3 = 0\)
\( x^4-4x^2+3 = 0 \) uvodimo smenu \( x^2 = t, x^4 = t^2 \)
\( t^2-4t+3 = 0 \)
\( t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} \)
\( t_1 = 3,\qquad t_2 =1 \)
\( x^2=1,\text {daje dva rešenja } x_1=1,\qquad x_2=-1 \)
\( x^2=3 \) daje dva rešenja \( x_3=\sqrt{3},\qquad x_4=-\sqrt{3} \)
Binomna jednačina
Jednačine koje se svode na kvadratnu i blika su \(ax^n \pm b=0 \) nazivaju se binomne jednačine.
Uvođenjem smene \( x=t\sqrt[n]{\frac{b}{a}} \) polazna jednačina se transformiše u \( t^n \pm 1=0 \)
Primer :Odrediti skup rešenja binomne jednačine \( 5x^3+2=0 \)
uvidimo smenu\( x=t\sqrt[3]{\frac{2}{5}} \)
\( \Big( t\sqrt[3]{\frac{2}{5}}\Big)^3+2=0 \)
\( 5t^3\frac{2}{5}+2=0 \)
\( t^3\cdot2+2=0 \)
\( t^3+1=0 \)rastavićemo razliku kubova
\( (t+1)(t^2-t+1)=0 \)rastavljamo na dve jednačine
\( t+1=0\qquad y=-1 \)
\( t_{1,2} =\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2} \)
\( t_{1,2} =\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2} \)
\( t_{1,2} =\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \)
Skup rešenja jednačine je \(-\sqrt[3]{\frac{2}{5}},\qquad \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt[3]{\frac{2}{5}} \)
(\ \frac{1+i\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt[3]{\frac{2}{5} \)
Trinomne jednačine
Jednačine koje se svode na trinomne
Jednačina oblika \( ax^{2n}+bx^n+c = 0 \) naziva se trinomna jednačina i
uvođenjem smene \( x^n = t \) polaznu jednačinu transformišemu u \(at^2+bt+c = 0 \)
Primer : Reši jednačinu \( x^6+7x^3-8 = 0 \).
uvodimo smenu
\( x^3 =t \) jednačina se transformiše u \( t^2+7t-8 = 0 \)
\( t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49+32}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2} \)
\( t_1=1, t_2 =-8 \) dobijene vrednosti vraćamo u smenu
\( t = 1 \)
\( x^3 =1 \) rastavljamo na razliku kubova \( x^3-1= 0 \)
\( (x-1)(x^2+x+1) = 0 \) rastavljamo na dve jednačine
\( x-1 = 0 \) čije je rešenje \( x_1 = 1 \)
\( x^2+x+1=0 \) čija su rešenja \( x_2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}, \qquad x_3=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \)
postupak ponavljaamo za \( t =-8 \)
\( x^3+2^3 = 0 \) čije je rešenje \(x_4 = -2 \)
\( (x+2)(x^2+2x+4) = 0 \) čija su rešenja \(x_5 = 1+i\sqrt{3}, \qquad x_6 = 1+i\sqrt{3} \)