Kvadratna funkcija – konstrukcija grafika sledi iz analize osnove kvadratne funkcije \( y=ax^{2} \) , zatim nepotpunih kvadratnih funkcije \( y=x^{2}+c \) i \( y=x^{2}+bx \) i na kraju potpune kvadratne funkcije \( y=ax^{2}+bx+c\). Grafik svake kvadratne funkcije naziva se parabola.
Kvadratna funkcija – konstrukcija grafika funkcija \( y=ax^{2} \)
Na slici je prikazan uticaj koeficijenta a na grafik kvadratne funkcije.
Pogledaj animaciju
Ako je a <0 funkcija ima maksimum- najpre raste a zatim opada. Koordinate maksimuma su max (0,0). Ako je a>0, funkcija ima minimum – najpre opada a zatim raste. Koordinate minimuma su min (0,0). Ako se a povećava funkcija brže raste i grafik funkcije je otvoreniji. Grafik funkcije je simetričan u odnosu na x-osu.
Funkcija \( y=ax^{2} +c\)
\( y=ax^{2} +c\)
Sve vrednosti funkcije se povećavaju za c ako je c>0, ili se smanjuju za -c ako c<0.
Ako je a<0 funkcija ima maksimum- najpre raste a zatim opada. Koordinate maksimuma su max (0,c).
Ako je a>0, funkcija ima minimum – najpre opada a zatim raste. Koordinate minimuma su min (0,c). Grafik funkcije je simetričan u odnosu na x-osu.
\( y=ax^{2} +bx\)
Ako je b>0 grafik funkcije se pomera u levo, a ako je b<0 grafik se pomera desno. Ima dva preseka sa x-osom i u odnosu na nju nije simetričan. Minimum ili maksimum funkcije ima koordinate (α,β), gde je \( α=-\frac{b}{2a},~~~β=\frac{4ac-b^{2}}{4a} \). U ovom slučaju c=0, pa je \( α=-\frac{b}{2a},~~~β=\frac{-b^{2}}{4a} \).
Kvadratna funkcija – konstrukcija grafika \( y=ax^{2} +bx+c\)
Nula funkcije je ona vrednost x-a za koju je y=0 – to su rešenja kvadratne jednačine \( ax^{2} +bx+c=0\). Grafički to je presek grafika funkcije sa x-osom.
\( x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
\( D>0,~jednačina~ima~dva~realna~različita~rešenja\\D=0,~jednačina~ima~dva~realna~jednaka~rešenja\\D<0,~jednačina~ima~konjugovano~kompleksna~rešenja\\ \)
Koordinate tačaka u kojima grafik seče x-osu su \( N_1(x_{1},0)~ i ~N_2(x_{2},0) \).
Napisaćemo kanonski oblik kvadratnog trinoma
\( y=a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a},~~-D=4ac-b^2 \)
\( y=a\left( x+α\right)^2+β \)
Teme parabole (minimum ili maksimum) ima koordinate \( α=-\frac{b}{2a},~~~β=\frac{4ac-b^{2}}{4a} \).
Sa iskustvima stečenim na ovoj strani možemo konstrisati grafik bilo koje kvadratne funkcije.