Najjednostavniji sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate su sistemi jedne kvadratne jednačine i jedne linearne jednačine.
\[ ax^2+bxy+cy^2+dx+ry+f=0 \\ a_1x+b_1y+c_1=0 \]
Bar jedan od koeficijenata a,b,c mora da bude različit od 0. Sistem rešavamo tako što jednu nepoznatu izrazimo iz linearne jednačine i zamenimo je u kvadratnoj jednačini. U kvadratnoj jednačini ostaje samo jedna nepoznata.
Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate mogu biti dve kvadratne jednačine oblika ,\[ \\ a_1x^2 + b_1y^2 = c_1 \\ a_2x^2 + b_2y^2 = c_2 \]
Ako uvodemo smenu \( x^2 = u ∧ y^2 = v \), dobijamo sistem dve jednačine sa dve nepoznate.
\[ \\ a_1u + b_1v = c_1 \\ a_2u + b_2v =c_2 \]
Novodobijeni sistem rešavamo metodom zamene ili suprotnih koeficijenata.
Jednačina oblika \( a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=0 \) naziva se homogena kvadratna jednačina.
Koeficijenti sistema \( a_1, b_1, c_1, \) su različiti od nule. Očigledno je da u slučaju da je \(x=0\) mora biti i \(y = 0\). Ako homogenu jednačinu sistema podelimo sa \( y ^2 ≠ 0 \) , jednačina postaje
\[ a_1\big(\frac{x}{y}\big)^2 + b_1\frac{x}{y} + c_1 = 0\]
Uvodeći smenu \( \big (\frac{x}{y}\big)=t\) homogena jednačina postaje \( a_1t^2+b_1t+c_1=0 \)
Sistemi kvadratnih jednačina mogu biti sastavljeni od dve kvadratne od koji je jedna homogena jednačina \[ a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 = 0 \\ a_2x^2 + b_2xy + c_2 y^2 +d_2x+e_2y+f= 0\]
Kada homogenu jednačinu sistema podelimo sa \( y ^2 ≠ 0 \) , sistem se transformiše u
\[ a_1\big(\frac{x}{y}\big)^2 + b_1\frac{x}{y} + c_1 = 0\\a_2x^2 + b_2xy + c_2 y^2 +d_2x+e_2y+f= 0 \]
Uvodeći smenu \( \big (\frac{x}{y}\big)=t\) homogena jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom
\[ a_1t^2+b_1t+c_1=0 \]
rešavanjem ove kvadratne jednačine to t dobijamo vezu x=ty. Smenom promenljive x u drugoj jednačini dobijamo mogućnost da izračunamo y.