Linearna jednačina – definicija
- Pod linearnom jednačinom sa jednom nepoznatom podrazumeva se svaka jednačina koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika ax=b, a∈R i b∈R
- a≠0, jednačina ima jedinstveno rešenje \( x=\frac{b}{a} \)
- a=0 i b≠0, jednačina 0·x=b nema rešenja
- a=0 i b=0, jednačina 0·x=0 ima beskonačno mnogo rešenja rešenje \( x=\frac{b}{a} \)
- jednačine P(x)=0 i Q(x)=0 su ekvivalentne ako je svako rešenje jedna jednačine istovremeno rešenje druge jednačine tj. \( P(x_0)=Q(x_0) \).
\( Primer ~1. ~~Reši~jednačinu:3x\left(2-x \right) +3\left( x^2-1\right) =4x+1\\ \)
\( 3x\left(2-x \right) +3\left( x^2-1\right) =4x+1 \)
\( 6x-3x^2+3x^2-3=4x+1 \)
\( 6x-4x=1+3 \)
\( 2x=4 \)
\( x=2 \) Jednačina ima jedinstveno rešenje.
\( Primer~ 2. ~~Reši~jednačinu:~~3(2-x)+7(x-1)=4x+1 \)
\( 3(2-x)+7(x-1)=4x+1 \)
\( 6-3x+7x-7=4x+1 \)
\( 4x-4x=1+1 \)
\( 0·x=2 \) Jednačina nema rešenja.
\( Primer~3. ~~Reši~jednačinu:~~3(2-x)+7(x-1)=4x-1 \)
\( 3(2-x)+7(x-1)=4x-1 \)
\( 6-3x+7x-7=4x-1 \)
\( 4x-4x=-1+1 \)
\( 0·x=0 \) Jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.
Linearna jednačina u prametarskom obliku
Parametarska linearna jednačina je linearna jednačina koja, pored nepoznate (ili nepoznatih), sadrži i parametar – veličinu čija se vrednost smatra konstantnom, ali može uzimati različite vrednosti.
\( Primer~1. ~~Reši~jednačinu:~~mx-2x=4 \) ako je x nepoznata, a m parametar.
\( mx-2x=4 \)
\( \left( m-2\right)x=4 \)
\( x=\frac{4}{m-2} \)
Diskusija:
1. slučaj: Da bi jednačina imala rešenja neophodno je da bude zadovoljen uslov m-2≠0, odnosno m≠2. Rešenje jednačine je \( x=\frac{4}{m-2} \) za svako ∀m∈R različito od 2.
2. slučaj: m = 2
Jednačina postaje \( (2-2)x=4 \)
\( 0·x=4 \) što je nemoguće- jednačina nema rešenja
