Linearne nejednačine rešavamo koristeći ekvivalentne transformacije. Nejednakosti menja smer kada celu nejednačinu množimo (ili delimo) negativnim brojem.
|
Reši nejednačinu:5x<15 . 5x<15 x<15/5 x<3 |
Reši nejednačinu:-5x<15. -5x<15 x>-15/5 x>-3
|
Linearne nejednačine mogu da ima rešenja, nema rešenja i ima beskonačno mnogo rešenja
Osnovni problem kojima čemo se baviti su:
Proizvod ili količnik dva broja je > 0 ako su brojevi istog znaka, a <0 ako su različitog znaka.
(x-a)(x-b)>0⇒(x-a>0∧ x-b>0)∨( x-a<0∧ x-b<0)
(x-a)(x-b)<0⇒(x-a>0∧ x-b<0)∨( x-a<0∧ x-b>0)
Proizvod dva broja je ≥0 ako vazi pravilo za >0 i =0. Proizvod dva broja je > 0 ako su brojevi istog znaka i jednak 0 ako je bar jedan od njih jednak 0.
Znak ≥ uključuje i nulu razlomaka. Razlomak je jednak nuli kada je njegov broilac jednak nuli, a definisan ako je imenilac različit od nule.
Zadatak 1 : Reši nejednačinu:
\( zadatak~1581. b)\\\frac{5-2x}{5+x}<\frac{1}{2} \)
\( \frac{5-2x}{5+x}-\frac{1}{2}<0 \)
\( \frac{2(5-2x)-1(5+x)}{2(5+x)}<0 \)
\( \frac{10-4x-5-x}{2(5+x)}<0 \)
\( \frac{5-5x}{2(5+x)}<0⇔ \)
\( ⇔(5-5x>0∧5+x<0)∨(5-5x<0∧5+x>0\)⇔
\(⇔(-5x>-5∧x<-5)∨(-5x<5∧x>-5)⇔ \)
\( ⇔(x<1∧x<-5)∨(x>1∧x>-5) \)
\( (x<1∧x<-5)\\x∈(1,∞) \)
\( (x>1∧x>-5)\\x∈(-∞,-5) \)
\( Rešenje ~zadatka~ je ~~x∈(-∞,-5)∪(1,∞) \)
Zadatak 1 : Reši nejednačinu:
\( \frac{\left|x-1 \right| }{x}<0 \)
\( I~~~\frac{x-1}{x}<0,~za~ x>1~~~~~∧~~~~~II~~~\frac{-x+1}{x}<0,~za~x<1 \)
Rešavamo I
\( (x-1>0∧x<0)∨(x-1<0∧x>0)\\(x>1∧x<0)∨(x<1∧x>0) \)
\( (x<1∧x>0)\\x∈(0,1) \)
\( (x<1∧x>0)\\x∈(0,1) \)
\[ Rešenje~I~~~x∈∅∪x∈(0,1)~∩~x>1~ po~aps\\~~~~~~~~x∈∅ \]
Rešavamo II
\( (-x+1>0∧x<0)∨(-x+1<0∧x>0)\\(-x>-1∧x<0)∨(-x<-1∧x>0)\\(x<1∧x<0)∨(x>1∧x>0) \)
(x<1∧x<0)\\x∈(-∞,0)
\((x>1∧x>0)\\x∈(1,∞) \)
\( Rešenje~II~~~x∈(-∞,0)∪(1,∞)∩x<1\\x∈(-∞,0) \)
\(I~∪~II~~~~ x∈(-∞,0) \).