Algebra

Pregled brojeva

Pregled brojeva – prirodni i celi brojevi.

Pregled brojeva počinjemo skupom prirodnih brojeva označavamo sa N = {1, 2, 3, … , n, … }. Na skupu N definisane su operacije sabiranja i množenja. Ako skupu prirodnih brojeva pridružimo 0 oznaka je N₀ = { 0, 1, 2, 3, … , n, … } .

Proširenje skupa prirodnih brojeva je skup celih brojeva Z = { … , —2, —1, 0, 1, 2,…}

Osim operacije sabiranja i noženja , na skupu celih brojeva definisano je i oduzimanje.

Za dva cela (ili prirodna) broja m i n, n≠0 se kaže da je broj m deljiv sa brojem n, u oznaci nIm ako postoji ceo broj k takav da je m = n⋅к.

Prirodan broj n≠1 je prost, ako su jedini njegovi prirodni delioci 1 i n. Prirodan broj ј n≠1 je složen ako nije prost.

Broj 1 ( po definiciji) nije ni složen ni prost.

Najmanji zajednički sadržalac prirodnih brojeva m i n je najmanji prirodan broj deljiv sa m i n. Označava se sa NZS(m,n).

Najveći zajednički delilac brojeva m i n je najveći prirodan broj koji se sadrži u m i n. Označava se sa NZD(m,n). Ako je NZD(m,n)=1 za brojeve mi n se kaže da su uzajamno prosti.

1.Dokazati da je m⁵-m deljiv sa 5, m∈N .

Rešenje:

pri deljenju sa 5 broj m razlikujemo sledeće slučajeve :

broj je deljiv sa 5 , m=5k,
daje ostatak1 , m=5k+1,
daje ostatak 2, m=5k+2,
daje ostatak 2, m=5k+3,
daje ostatak 2, m=5k+4.

Rastavimo dati izraz m⁵-m na proste činiocem⁵-m=m(m⁴-1)=m(m²-1)(m²+1)=m(m-1)(m+1)(m²+1)=(m-1)m(m+1)(m²+1)

Prvi slučaj: m=5k je trivijalan, 5 deli m-činilac rastavljenog binoma.

Drugi slučaj: m=5k+1 , 5 deli m-1-činilac rastavljenog binoma (5k+1-1=5k).

Treči slučaj: m=5k+2, (5k+2-1)(5k+2)(5k+2+1)((5k+2)²+1)=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(25k²+20k+4+1)=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(25k²+20k+5)=5(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k²+4k+1)

Četvrti slučaj: Treči slučaj: m=5k+3, (5k+3-1)5k+3(5k+3+1)((5k+3)²+1)=(5k+2)(5k+3)(5k+4)(25k²+30k+9+1)=(5k+2)(5k+3)(5k+4)(25k²+30k+10)=5(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k²+6k+2)

Peti slučaj: m=5k+4, treći činilac rastavljenog polinoma je deljiv sa 5, 5k+4+1=5k+5=5(k+1).

Dokazali smo da jebroj deljiv sa 5.

2. Dokazati da je broj 9⁴⁴ + 4⁹⁹ deljiv sa 5.

Broj je deljiv sa 5 ako je poslednja cifra broja 0 ili 5.

Stepenovaću broj 9:

9, 81,729,6561….

poslednja cifra za neparan izložilac (9¹,9³,9⁵,…) 9, a za paran (9²,9⁴,9⁶,…)1.

Stepenovaću broj 4:

4, 16, 64, 256, 1024….

poslednja cifra za neparan izložilac (41,43,45,…) 4, a za paran (4²,4⁴,4⁶,…)6.

Kada saberemo stepene 9⁴⁴ + 4⁹⁹

poslednja cifra će biti 5 ( 9⁴⁴ poslednja cifra 1 (za parni izložilac) , 4⁹⁹poslednja cifra 4 (za neparni izložilac)).

Zaključujemo broj je 9⁴⁴ + 4⁹⁹deljiv sa 5.

3. Dokazati da je zbir bilo kog dvocifrenoh prirodnog broja i broja napisanog istim ciframa , ali obrnutim redom, deljiv sa 11.

Predstavimo prvi broj kao x=10a+b , a drugi y=10b+a

x+y=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)

4. Za koje cele brojeve n je izraz (5n+15):(n+2) prirodan broj ?

Transformisaćemo izraz

(5n+15):(n+2) =

=( 3n+6+9):(n+2)=

=(3(n+2)+9):(n+2)=

= 3(n+2)/(n+2)+ 9/(n+2)=

=3+9/(n+2)

brojevi koji dele 9 su -9,-3, -1, 3 i 9

Proverimo da li svi zadovoljavaju uslov da je zadati izraz prirodan broj

n+2=-9 , n=-11 izraz je 3+(-1)=2 , rešenje pripada N za n=-11

n+2=-3 , n=-5 izraz je 3+(-3)=0 , rešenje ne pripada N za n=-5

n+2=-1 , n=-3 izraz je 3+(-9)=-6 , rešenje ne pripada N za n=-6

n+2=1 , n=-1 izraz je 3+9=11 , rešenje pripada N za n=-1

n+2=3 , n=1 izraz je 3+3=6 , rešenje pripada N za n=1

n+2=9 , n=7 izraz je 3+1=4 , rešenje pripada N za n=7

Brojevi koji zadovoljavaju uslov zadatka su -11,-1, 1, 7.

Pregled brojeva -racionalni i iracionalni brojevi

Skup svih prirodnih brojeva p/q, p∈Z , q∈N Naziva se skupom racionalnih brojeva i označava sa Q. U skupu Q definisane su operacije sabiranja,oduzimanja, množenja i deljenja (pri čemu je imenilac različit od 0)

Broj koji se može napisati kao n₀ +d₁/ 10+d₂/10²+…+d_n/10ⁿгде је (n₀ ∈ {0, 1, 2, . . . } , d_к ∈ {0, 1, . . . ,9},n∈N) ili njemu suprotan broj naziva se decimalni broj.

Decimalni zapis broj a x je beskonačni niz oblika n₀,d₁d₂d₃….

Karakteristika decimalnog zaapisa racionalnog broja je u tome što se posle neke decimalne cifre, cifre iza nje, ili grupa cifara ponavljaju.Brojevi kod kojih to nije slučaj su iracionalni i oni se ne mogu predstaviti u obliku razlomka.

1. Dokaži da je broj $\sqrt{2}$ racionalan broj.

Jedan dokaz iracionalnosti kvadratnog korena iz 2 se dokazuje dovođenjem u kontradikciju (reductio ad absurdum). Tvrdnja se dokazuje uvođenjem suprotne pretpostavke u odnosu na željenu i kroz dokazni postupak dolazimo do kontradikcije takvoj pretpostavci, što je eliminiše.

1.Pretpostavimo da je racionalan broj. To znači da postoje prirodni brojevi a i b ${displaystyle b}$ takvi da je

2.Tada može biti napisan kao neskrativi razlomak a/b što znači da su brojevi a i b uzajamno prosti prirodni brojevi i istovremeno

3.Sledi da je

odakle je .

4.Odavde je jasno paran broj, jer je predstavljen kao proizvod broja 2 i prirodnog broja.

5.Iz ovoga sledi da a mora biti paran, jer je kvadrat parnog broja paran, a neparnog broja neparan.

6.Pošto je a paran, postoji takvo k da važi .

7.Kad ubacimo poslednju jednakost u (3) dobijamo:

što vodi do odnosno posle skraćivanja sa 2 dobijamo.

8.Iz ovoga sledi da je paran broj jer je predstavljen kao proizvod dvojke i prirodnog broja. Potom iz ovoga sledi da je i paran jer samo parni brojevi imaju parne kvadrate.