Proporcionalnost veličina
Razmera i proporcija
Razmera dve veličine je količnik veličina \(a\) i \(b \ne 0\), broj \(a:b\), ili \(\frac{a}{b}\).
Ako su dve razmere \(a:b\) i \(c:d\) jednake , onda one čine pproporciju, što se zapisuje \(a:b = c:d\). Za brojeve \(a,b,c\) i \(d\) kažemo da su članovi proporcije, a za parove \(a\) i \(d\) da su spoljašnji (krajnji), a \(b\) i \(c\) su unutrašnji (srednji) članovi.
Za proporciju \(a:b = c:d\) kožemo da je prosta i rešavamo je tako što izjednačimo proizvode spoljašnjih i unutrašnjih članova , odnosno \(ad = bc\) . Ako imamo jednakost tri razmere \(a:d =b:e= c:f\) ⇔ \( \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac {c}{f} \) za proporciju \(a:b:c =d:e:f \) kažemo da je produžena .
Osobine prporcija
Ako je \(a:b = c:d\), onda je \(ad = bc\) i
\(d:b = c:a,{\text{ }}d:c = b:a,{\text{ }}a:c = b:d.\) Unutrašnji ili spoljašnji članovi proporcije mogu da zamene mesta zbog komutativnosti množenja
Ako je \(a:b = c:d\) i \(k\) proizvoljan broj različit od nule, onda
\(\left( {ak} \right):\left( {bk} \right) = c:d,{\text{ }}\left( {a:k} \right):\left( {b:k} \right) = c:d,\)
\(\left( {ak} \right):b = \left( {ck} \right):d,{\text{ }}\left( {a:k} \right):b = \left( {c:k} \right):d.\). jednu stranu proporcije možemo skratiti i proširiti nekim brojem različitim od 0.
Ako je \(a:b = c:d\) i ako su \(m,n,p\) i \(q\) brojevi različiti od nule, onda je
\(\left( {a \pm b} \right):\left( {c \pm d} \right) = a:c = b:d\),
\(\left( {a + b} \right):\left( {c + d} \right) = \left( {a – b} \right):\left( {c – d} \right)\),
\(\left( {ma \pm nb} \right):\left( {mc \pm nd} \right) = \left( {pa \pm qb} \right):\left( {pc \pm qd} \right)\).
Direktna i obrnuta proporcionalnost
Veličine \(x\) i \(y\) su direktno proporcionalne ako je \(y = kx,{\text{ }}k > 0\) a obrnuto proporcionalne ako je \(y = \frac{k}{x},{\text{ }}x \ne 0,{\text{ }}k > 0.\)