Tangenta i normala , odnosno njihove jednačine se određuju preko formula koje slede.
Koeficijent pravca tangente u nekoj tački krive jednak je vrednosti prvog izvoda funkcije u toj tački. Koeficijent pravca normale, po uslovu normalnosti, je ( k_n=frac{-1}{k_t} ). Iz navedenog slede :
1. Jednačina tangente na krivu y=f(x) u tački (xo,yo) u kojoj je funkcija diferencijabilna, računa se po formuli: y – yo = f ‘(xo)(x – xo).
2. Normala na krivu y=f(x) u tački (xo,yo) je prava normalna na tangentu krive u toj tački. Njena jednačina je : y – yo =(-1/ f ‘(xo))(x – xo).
Tangenta i normala zadaci
Zadatak 1:
Odrediti jednačinu one tangente krive y=x3 +3x2-5 koja je normalna na pravu 2x-6y+1=0.
Iz eksplicitnog oblika jednačine prave čitamo koeficijen pravca. Za datu pravu to je 1/3 . Tražena tangenta je normalna na pravu i važi kt=-1/kp. Sledi da je koeficijent tangente -3
Odredimo prvi izvod funkcije
Prvi izvod funkcije izjednačimo sa koeficijentom pravca , rešimo po x jednačinu, tu vrednost nezavisno promenljive x vratimo u polaznu funkciju, izračunamo y. Time smo odredili tačku koju sadrži tražena tangenta.
Postavimo jednačinu prave kroz tačku A sa keficijentom -3 i dobijamo jednačinu tangente.
Zadatak 2
Data je funkcija f(x) = x3-3x2+1. Odrediti tačke u kojima su tangente date funkcije paralelne sa apscisnom osom.
Odredimo izvod funkcije.
Postavimo jednačinu y=0, x-ose. Koeficijent pravca ove prave je 0.
Izjednačimo prvi izvod sa koeficijentom pravca i rešimo jednačinu. Dobijena je vrednost apscisa tačke koju sadrži tangenta.
Imamo dva rešenja što upućuje da postoje dve tačke koje zadovoljavaju postavljene uslove.
Zadatak 3
Dve krive definisane su jednačinama: y1=2x2+2x-3, y2=x3-2x+5. Dokazati da ove krive imaju zajednicku tangentu u tacki M (2, 9) i odrediti jednačinu zajednicke tangente.
Ako funkcije imaju zajedničke tangente onda su koeficijenti pravaca jednaki, odnosno prvi izvodi u tački M
