Šta je neodređeni integral?
Problem da se nađe izvod funkcije ili diferencijal neke funkcije φ(x), spada i oblast diferencijalnog računa. Obrnut problem, naći funkciju koja ima kao izvod datu funkciju f(x) ili, kao diferencijal f(x)dx, spada u oblast integralnog računa.
Neodređeni integral – definicija: Primitivna funkcija funkcije f(x) definisane u intervalu (a,b) je svaka diferencijabilna funkcija F(x) za koju je f(x)=F′(x) za sve x∈(a,b).
Neodređeni integral funkcije f(x) na intervalu (a,b) je skup svih primitivnih funkcija te funkcije. Označavamo ga sa \( \int{f(x) dx}=F(x)+C \)
Egzistencija neodređenog integrala
Neka je data jedna neprekidna funkcija f(x). Pokazaćemo da postoji uvek jedna funkcija F(x) koja ima kao diferencijal f(x)dx.
Najopštija funkcija koja ima kao diferencijal f(x)dx je funkcija F(x)+C.
Pretpostavimo da je funkcija f(x) pozitivna na intervalu (a,x) i nacrtamo krivu koja joj odgovara.
Uzmimo na krivoj jednu utvrđenu ordinatu \(AM \), čija je apscisa a, i jednu promenljivu ordinatu \( BM_1=y \), čija je apscisa \(x\). Površina \( P=ABM_1M \) je neka funkcija od x, koja odgovara promenljivoj ordinati \( BM_1 \) odnosno P=F(x). Pokazaćemo da je ova funkcija ima diferencijal f(x)dx , dP=dF(x)=f(x).
Ako x dobije priraštaj BB′=Δx, ordinata \( BM_1=y \) postaje \( y+Δy=B′M′_1 \), a površina P se uveća za \( ΔP=BB′M′_1 M_1 \).
Priraštaj površine ΔP nalazi se između dva pravougaonika \( BB′NM_1 \) i \(BB′M′_1N′ \), odnosno
yΔx<ΔP<(y+Δy)Δx
y<ΔP/Δx<y+Δy
Kada Δx→0, onda i Δy→0 i ΔP→0
iz toga sledi dP=dF(x)=f(x), što je i trebalo dokazati.
Teoreme i tablica neodređenog integrala
Nalaženje neodređenih integrala elementarnih funkcija je često mnogo teže nego nalaženje izvoda tih funkicja.
Neodređeni integral rešavamo:
neposrednom integracijom, metodom smene, metodom smene, parcijalnom integracijom, svođenje kvadratnog trinoma na kanonski oblik,metoda neodređenih koeficijenata, integracija pomoću rekurentnih formula, itegracija racionalnih funkcija, integracija trigonometrijskih funkcija