Šta je  neodređeni integral?

Problem da se nađe izvod funkcije ili diferencijal neke funkcije φ(x), spada i oblast diferencijalnog računa. Obrnut problem, naći funkciju koja ima kao izvod datu funkciju f(x) ili, kao diferencijal f(x)dx, spada u oblast integralnog računa.

Neodređeni integral – definicija: Primitivna funkcija funkcije f(x) definisane u intervalu (a,b) je svaka diferencijabilna funkcija F(x) za koju je f(x)=F′(x) za sve x∈(a,b).

Neodređeni integral funkcije f(x) na intervalu (a,b) je skup svih primitivnih funkcija te funkcije. Označavamo ga sa

Neodređeni integral- egzistencija

Neka je data jedna neprekidna funkcija f(x). Pokazaćemo da postoji uvek jedna funkcija F(x) koja ima kao diferencijal  f(x)dx. 

Najopštija funkcija koja ima kao diferencijal f(x)dx je funkcija F(x)+C.

Pretpostavimo da je funkcija f(x) pozitivna na intervalu (a,x) i nacrtamo krivu koja joj odgovara.

  Uzmimo na krivoj jednu  utvrđenu ordinatu AM, čija je ascisa a, i jednu promenljivu ordinatu BM1=y, čija je apscisa x. Površina P=ABM1M ​je neka funkcija od x, koja odgovara promenljivoj ordinati  BM1 odnosno P=F(x). Pokazaćemo da je ova funkcija ima diferencijal f(x)dx , dP=dF(x)=f(x).

Ako x dobije priraštaj BB′=Δx, ordinata BM1=y postaje y+Δy=B′M′1, a površina P se uveća za ΔP=BB′M′1 M1.

Priraštaj površine ΔP nalazi se između dva pravougaonika BB′NM1 i BB′M′1N′ , odnosno

yΔx<ΔP<(y+Δy)Δx

y<ΔP/Δx<y+Δy

Kada Δx→0, onda i Δy→0 i ΔP→0

iz toga sledi dP=dF(x)=f(x), što je i trebalo dokazati.

Upload Image...

Neodređeni integral- tablica i osobine

neodređeni integral , osobine
neodređeni integral , tablica

 

Nalaženje neodređenih integrala elementarnih funkcija je često mnogo teže nego nalaženje izvoda tih funkicja.
 
Neodređeni integral  rešavamo:
svođenje kvadratnog trinoma na kanonski oblik
metoda neodređenih koeficijenata
integracija pomoću rekurentnih formula
itegracija racionalnih funkcija
integracija trigonometrijskih funkcija