Integracija racionalnih funkcija
\( \frac{P(x)}{\left(x-a\right)^{α} \left(x^2+px+q\right)^β }=\frac{A_1}{\left( x-a\right) }+\frac{A_2}{\left( x-a\right)^2}+…+\frac{A_α}{\left( x-a\right)^α}+\frac{M_1x+N_1}{x^2+px+q}+\frac{M_2x+N_2}{\left(x^2+px+q \right)^2 }+…+\frac{M_βx+N_β}{\left(x^2+px+q \right)^β} \)
Primer: \( \int{ \frac{x-4} {x^2-5x+6} dx} \)
\( \int{ \frac{ x-4 }{x^2-5x+6} dx}= I\)
Rastavljamo imenilac podintegralne funkcije
\( x^2-5x+6 = 0 \\ x_{1,2} = \frac{5±\sqrt{25-24}}{2} \\ x^2-5x+6 = \left( x-3 \right) \left( x-2\right) \)
\( I =\int{ \frac{ x-4 }{\left( x-3 \right) \left( x-2 \right) }dx} \)
Na osnovu date formule (na početku strane) rastavljamo integral na dva integrala sa nepoznatim koeficijentima
\(I= \int{ \frac{ A }{ x-3 }+\frac{ B }{ x-2 } dx} = \int{ \frac{ A }{ x-3 } dx}+\int{\frac{ B }{ x-2 }dx } \)
Sređivanjem izraza odredićemo koeficijente A i B.
\( \frac{A}{x-3} +\frac{B}{x-2} = \frac{x-4}{\left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } \)
\( \frac{A\left(x-2 \right)+B\left(x-3 \right) }{\left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } = \frac{x-4}{\left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } \)
\( Ax-2A+Bx-3B=x-4 \)
Dva polinoma su jednaka ako su im jednaki koeficijenti uz odgovarajuće članove. Rešavamo sistem jednačina.
\( A+B=1 ~~ ∧~~-2A-3B=-4\\ A=1-B~~~∧~~~2A+3B=4\\ 2\left(1-B\right)+3B=4\\2-2B+3B=4\\B=2~~∧~~A=-1 \)
Odredili smo koeficijente i vraćamo ih u integrale.
\(I= \int{\frac{-1}{x-3} dx}+\int{\frac{2}{x-2}dx }=-\int{\frac{dx}{x-3} }+2\int{\frac{dx}{x-2} } \)
\( \int{\frac{-1}{x-3} dx}+\int{\frac{2}{x-2}dx }=-\int{\frac{dx}{x-3} }+2\int{\frac{dx}{x-2} }=-ln\left| x-3\right|+2\left|x-2\right| +C=ln\left|\frac{\left( x-2\right)^2 }{x-3} \right| +C \)
Na apletu Integracija racionalnih funkcija 1 su rešeni zadaci . Prikaz apleta na celom ekranu dobijate klikom na ikonici u donjem desnom uglu
. Povratak u pretohodan rezim rada taster Esc.