Integracija trigonometrijskih funkcija je čest problem u rešavanju integrala. Predstavićemo po tipovima podintegralnih funkcija smene koje vas mogu dovesti do rešenja problema.
1. Za integrale tipa \( \int{F(sinx,cosx)dx }\) uvodimo smene
\(F(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)\) , smena \( t=cosx \)
\(F(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)\), smena \( t=cosx \)
\(F(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)\), smena \( t=tgx \) osim ovih mogu se primeniti i
\( t=tg\frac{x}{2},~~~dx=\frac{2dt}{1+t^2},~~~sinx=\frac{2t}{1+t^2},~~~cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\) koje polazni integral prevode u integral racionalne funkcije.
2.Ako su integrali proizvoda trigonometrijskih funkcija, koriste se trigonometrijske transformacije proizvoda u zbir . Ove transformacije svode integrale na tablične.
\( \int{ sin(ax)sin(bx)dx} \) transformacija je \( sin(ax)sin(bx)=\frac{1}{2}(cos(a-b)x-cos(a+b)x \)
\( \int{ sin(ax)cos(bx)dx} \)\( sin(ax)cos(bx)=\frac{1}{2}(sin(a-b)x+sin(a+b)x \) transformacija je
\( cos(ax)cos(bx)=\frac{1}{2}(cos(a-b)x+cos(a+b)x \)\( \int{ cos(ax)cos(bx)dx} \) transformacija je
3. Za integrale tipa \( \int{sin^mxcos^nxdx }\) m,n∈Z razlikujemo dva slučaja.
Ako je \( n=2k+1\) ili \( m=2k+1\) tada je \( sinx=t,cosxdx=dt \)
\( \int{sin^mx\left( cos^2x\right)^kcosxdx } \)smena
Ako je :\( n=2k \) i \( m=2s\) uvodimo smenu \( \sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\\cos^2x=\frac{1-cos2x}{2} \)
\( \int{\frac{dx}{sin^kxcos^sx} }\)
\(\int{\frac{1}{sin^kxcos^{s-2}}\frac{dx}{cos^2x} }= \int\frac{1}{\frac{sin^kx}{cos^kx}cos^{s+k-2}}{\frac{dx}{cos^2x} }=\int{\frac{1}{tg^kx\left(\frac{1}{1+tgx} \right)^{\frac{k+s-2}{2}} }\frac{dx}{cos^2x} }=\int{ tg^{-k}x}(1+tg^2x)^{\frac{k+s-2}{2}}\frac{dx}{cos^2x} \)
smenom \(tgx=t\) sledi \( \frac{dx}{cos^2x}=dt \) pa je \( \int{ t^{-k}(1+t^2)^{\frac{k+s-2}{2}}dt }\)
4.Za integrale \( \int{ F(tgx)dx} \) uvodimo smenu \( t=tgx,dx=\frac{dt}{1+t^2} \)
a za \( \int{ F(ctgx)dx}~~t=ctgx,dx=-\frac{dt}{1+t^2} \).
Sledi aplet Integracija trigonometrijskih funkcija koji sadrži rešene zadatke .
Prikaz apleta na celom ekranu dobijate klikom na ikonici u donjem desnom uglu
. Povratak u prethodno stanje taster Esc.
Povratak na stranu Neodređeni integral
Matematički časopis Tangenta
