\( \int{xe^{x^2 }dx} \)Metoda smene promenljive se pojavljuje u mnogim zadacima kao rešenje postavljenog integrala ili kao neophodan deo na putu do rešenja . Jedan deo prodintegralne funkcije smenimo novom promenljivom
\( x=g(t)\\x{`}=(g(t))^{`}\\dx=g^{`}(t)dt \)
i početni integral postaje
\( \int{f(g(t) ) g^`(t)dt}\)
Uradićemo primer Izračunaj \( \int{xe^{x^2 }dx} \) .
Podintegralna funkcija \( xe^{x^2 } \) se ne nalazi u tablici integrala, ali \( e^x \) je tablični integral.
Ako bi uveli smenu \( x^2=t\), znajući da je izvod od \( (x^2)^` = 2x \), tada bi cela podintegralna funkcija bila pokrivena.
\( \int{xe^{x^2 }}dx=\int{e^{x^2 }}xdx \) uvodimo smenu
\( x^2=t \)
\( 2xdx=dt \)
\( dx=\frac{1}{2}dt. \)
Možemo da zaključimo ako uvedemo smenu za jedan deo podintegralne funkcije ostatak mora biti izbod smenjenog dela.
Da bi zadatke uspešno radili , treba dobro poznavati teoreme i tablicu integrala i transformacije podintegralne funkcije.
Postavićemo tablične integrale i na ovu stranu.
\( 1.\int{x^n }dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\2.\int{ \frac{1}{x}}dx=ln\left|x \right| + C\\3.\int{a^{x} }dx=\frac{a^x}{lna} + C\\4.\int{e^x }dx=e^x + C\\5.\int{ sinx}dx=-cosx + C\\6.\int{cosx dx}=sinx + C\\7.\int{ \frac{1}{cos^2x}}dx=tgx + C\\8.\int{\frac{1}{sin^2x} }dx=-ctgx + C\\9.\int{ \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=arcsinx + C\\10.\int{\frac{dx}{1+x^2} }=arctgx +C\\11.\int{ \frac{dx}{\sqrt{x^2±1}}}=ln\left|x+\sqrt{x^2±1} \right| + C\\12.\int{ \frac{dx}{1-x^2}}=\frac{1}{2}ln\left| \frac{1+x}{1-x} \right| \)
1.Zadatak \( \int{ (5-2x)^9}dx;~~~\int{ \frac{dy}{3y+2}}\) .
2.Zadatak \( \int{ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx};~~~~\int{ }\frac{2x+1}{x^2+x-3}dx \).
3.Zadatak \( \int{\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx}.~~~~\int{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}dx \).
4.Zadatak \( \int{\frac{dx}{2+3x^2}};~~~~\int{\frac{cosx}{4+sin^2x}}dx \).
5.Zadatak \( \int{\frac{dx}{x\left(1+ln^2x \right) }};~~~~\int{\frac{dx}{\sqrt{25-9x^2}} } \).
6.Zadatak \( \int{\frac{dz}{z\sqrt{1-ln^2z}}};~~~~\int{\frac{cosxdx}{\sqrt{a^2-sin^2x}} } \).
U apletu – Metoda smene promenljive možete naučiti kako ova metoda koristi kod iracionalnih, eksponencijalnih, trigonometrijskih funkcija i logaritamskih funkcija.
Rešenja ovih zadataka vas očekuju na kraju strane. Zadatke usradite samostalno i rešenja ili razjašnjenje nedoumica pogledajte u apletu.
Prikaz apleta na celom ekranu dobijate klikom na ikonici u donjem desnom uglu 
. Povratak na stranu taster ESC.