Geometrijski niz -uvod
Niz kod koga je količnik dva susedna člana konstntan naziva se geometrijski niz. Primer :2, 6, 18, 54,…
Opšti član niza obeležava se sa \( a_n \), prvi \( a_1 \), količnik sa \( q \) , broj članova niza sa \( n \), suma(zbir) \( n \) članova niza sa \( S_n \) .
\( q=\frac{a_n}{a_{n-1}}\\ a_2=a_1 · q\\a_3=a_2 · q=a_1 · q · q=a_1 · q^{2}\\a_4=a_3 · q=a_1 · q^{2} · q=a_1 · q^{3}\\…\\a_n=a_{n-1} · q=a1 · q^{n-2} · q=a_1 · q^{n-1} \)
Članove niza možemo zapisati \(a_1,a_2 a_3, … ,a_{n-2}, a_{n-1}, a_n~ \) ili \( a_1, a_1·q, a_1·q^{2}, …,a_1·q^{n-3}, a_1·q^{n-2}, a_1·q^{n-1} \)
\( S_n= a_1+ a_1·q+ a_1·q^{2}+…+a_1·q^{n-3}+ a_1·q^{n-2}+ a_1·q^{n-1} \) množimo sa \(q \)
\(qS_n= a_1·q+a_1·q^{2}+a_1·q^{3}+ …+a_1·q^{n-2}+a_1·q^{n-1}+ a_1·q^{n}\) nađemo razliku
\(S_n-qS_n=a_1-a_1·q^n~⇒~S_n(1-q)=a_1(1-q^{n})\\~~~~~S_n=a_1\frac{1-q^{n}}{1-q}\)
\(S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}=a_1\frac{1-q^{n}}{1-q} \)suma n članova niza.
\(a_n=a_1·q^{n-1}\) opštičlan niza
\(a_m=\sqrt{a_{m-k}a_{m+k}} \) -srednji član
Sledi geometrijski niz uvod interaktivni aplet . Prikaz apleta na celom ekranu dobijate klikom na ikonici u donjem desnom uglu . Cilj apleta je da proverite osnovna znanja iz geometrijskog niza. Zadatke najpre uradite sami, zatim unesete koeficiijetne potrebne za zadatak i kliknete na dugme Rešenje.
ZADATAK 1: Izračunati količnik geometrijskog niza ako je data vrednost k-tog i l-tog člana niza.
ZADATAK 2 : Izračunaj broj članova geometrijskog niza ako je dato a_k, količnik i a_n.
ZADATAK 3: Izračunaj prvi član geometrijskog niza ako je data suma S_k i količnik q.