Šta su kongruencije ?

Za cele brojeve a i b kaže se da su kongruentni po modulu m (m ∈Z∧ m≠ 0),  ako a i b pri deljenju sa m daju jednake ostatke. Simbolički se to zapisuje a ≡ b (mod  m). Ako  a i b pri deljenju sa  m imaju različite ostatke, onda se kaže a nije kongruentno b po modulu m.

Tako je na primer 38≡13(mod 5), jer i 38 i 13 pri deljenju sa 5 imaju ostatak 3  .

PRIMER 1.
Ako je a≡b (mod m) onda i samo onda je a – b deljivo sa m. Dokaži.
REŠENJE: Ako je a≡b (mod m), onda na osnovu date definicije a i b pri deljenju sa m imaju jednake ostatke, tj. a = km + r i b = lm + r. Tada je a – b = km + r – (lm + r) = m(k – l). Dakle a – b je deljivo sa m.
Obrnuto, neka je a = pm + r1 i b = qm + r2 (0 ≤r1, r2 < m) i neka je a – b deljivo sa m, tj. neka je a – b = km. Tada se oduzimanjem jednakosti dobija a – b = pm + r1 – (qm + r2) = m(p – q) + r1 – r2 = km. Kako je desna strana jednakosti deljiva sa m, to mora biti i leva pa r1 – r2 deljivo sa m. Tada je zbog obaveznog uslova (0 ≤ r1, r2 < m) r1 – r2 = 0. To znači da su r1 i r2 jednaki, pa a i b pri deljenju sa m imaju jednake ostatke, a to znači da je a≡b (mod m).    

Sledi aplet  kongruencije zadaci koji sadrži rešene zadatke . Prikaz apleta na celom ekranu dobijate klikom na ikonici u donjem desnom ugluKongruencije zadaci  . Povratak u prethodno stanje taster Esc. U okviru apleta na dnu   strane imate  traku sa strelicamaKongruencije zadaci . Ako želite , klikom na strelice (dvosruka jedan korak napred- nazad, strelica sa crtom odlazak na početak ili kraj kompletan prikaz) možete individualno napredovati kroz zadatke. Klikom na redni broj zadatka, u vrhu apleta, otvarate novu stranu, ako je prazna koristite strelice za napredovanje.

 

Povratak na stranu Matematička indukcija

Matematički časopis Tangenta