Matrice i determinante

Definisaćemo determinante i matrice i njihove najvažnije osobine.

Determinante -definicija i osobine

a_ij – elementi determinante,  i- vrsta,  a  j – kolona  u  kojoj  se  a_ij  nalazi. 

 

Minor (subdeterminanta) M_ij za elemente a_ij; i,j= 1,2,…,n je determinanta reda n-1, koja se dobija iz determinante D izostavljnjem i-te vrste ij-te kolone,  pa preostali elementi obrazuju determinatntu reda n-1.

Kofaktor elementa a_ij je A_ij= (-1)^i+jM_ij ,-to je minor za dati element a_ij  pomnožen sa +1 ili -1 u zavisnosti od parnosti mestana kojem se nalazi a_ij.

Osobine determinanti

1.Vrednost determinante se ne menja ako se vrste zamene kolonama ne menjajući poredak.

2.Ako dve vrste (ili kolone) zamene mesta determinanta menja znak.

3.Determinanta se množi nekim brojem tako što se elementi jedne vrste (ili kolone) množe tim brojem.

4.Vrednost determinante je jednaka nuli ako su bilokoje dve vrste (ili dve kolone) jednake.

5.Vrednost determinante je jednaka nuli ako su elementi jedne njene vrste ( ili kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima druge vrste (ili kolone).

6. Ako  je  svaki element k-te  vrste  (ili  kolone)  prikazan  kao  a_kj =b_kj + c_kj,  tada  je D= D₁ + D₂,  gde k-tu  vrstu  determinante D₁    čine elementi  b_kj,  a  k-tu vrstu determinante 1.      a k-tu  vrstu determinante  D₂  čine  elementi c_kj.

7. Vrednost  D  se  ne menja ako se  elementima  jedne njene  vrste  (ili  kolone)  dodaju  odgovarajući elementi  druge  vrste  (ili  kolone)    prethodno  pomnoženi  nekim   brojem.
8. Vrednost determinante  čiji su  svi  elementi  ispod  (ili  iznad)  glavne  dijagonale  jednaki nuli,  jednaka  je proizvodu  elemenata  na glavnoj  dijagonali.
9.  

Matrice -definicja i osobine

Definicija. Matrica  tipa   m x n   je   pravougaona   šema  kaja   ima   m   vrsta  i   n  kolona  i   zapisuje   se   u   obliku:

opšti član [a_ij]

Dve   matice   A   i   B   su   jednake   ako   su   istog  tipa   i   ako   su  im  odgovarajući   po   indeksu  elementi   jednaki.

[a_ij] , 1 ≤ j ≤n članovi i te vreste

[a_ij], 1 ≤ i ≤m članovi j te kolone

Kvadratne  matrice   su   one   matrice   kod   kojih   je   jednak   broj   vrsta   i   kolona.

 Kvadratna  matrica  ima  glavnu  i  sporednu  dijagonalu.

[a_ii] , 1 ≤ i ≤n glavne dijagonale

[a_i(n-i+1)], 1 ≤ i ≤n sporedne dijagonale.

Kvadratne   matrice    reda    n    čiji    su    elementi    na    glavnoj    dijagonali   jednaki    jedinici , a    ostali   jednaki   nuli    nazivaju  se jedinične    matrice.  Jedinična matrica obeleževa  se   sa  E  ili  I.  Važi AE = EA = A  . E   je   neutralni   element    za    množenje.

Ako   je   A   matrica   tipa   m  x   n ,   onda   se   njena  transponovana   matrica   A^T   dobija   kada   u   matrici   A kolone   i   vrste   zamene   mesta.   Tip   matrice   A^T   je    n   x  m . 

Matrica   čiji   su   svi   elementi   jednaki   nuli   naziva   se   nula- matrica.

U apletu Determinante i matrice ,koji sledi, možete proveriti ili proširiti vaše znanje o matricama i determinantama.Prikaz apleta na celom ekranu dobijate klikom na ikonici u donjem desnom uglu  . Povratak u prethodno stanje taster Esc. 

Povratak na stranu Matrice i determinante

GeoGebra