Određeni integral obeležavamo sa \( \int_{a}^{b}{ f(x)dx}\), gde je a je donja granica integrala, b je gornja granica integrala, f(x) je podintegralna funkcija, x je integraciona promenljiva, [a,b] je interval integracije.
Za neodređeni integral važi: ako je funkcija f(x) neprekidna na segmentu [a,b], tada ona ima primitivnu funkciju\( \int{ f(x)dx}=F x + C\).
Za određeni integral važi sledeća teorema.
Neka je funkcija\( f: \left [a,b \right ] uR \) integrabilna na \( \left [a,b \right ]\) i neka za nju postoji primitivna funkcija takva da je \(F'(x)=f(x)\) za svaki\( x(a,b) \) . Tada važi Newton-Leibnitzova formula: \( \int_{a}^{b}{ f(x)dx}=F (b)-F(a) \).
Kriterijumi integrabilnosti funkcija su:
- Svaka ograničena funkcija f(x) u intervalu [a,b] sa konačnim brojem prekidnih tačaka između a i b je integrabilna u tom intervalu.
- Svaka monotona funkcija f(x) u intervalu [a,b] je integrabilna u tom intervalu.
- Svaka neprekidna funkcija u datom intervalu [a,b] je integrabilna u tom intervalu.
Navešćemo neke osobine određenog integrala.
Ako je \( f(x)\) i \( g(x)\) integrabilna funkcija u intervalu \( [a,b] \), onda je :
\( 1.\int_{a}^{b}{ kf(x)dx}=k\int_{a}^{b}{ f(x)dx}\\2.\int_{a}^{b}{\left(f(x)±g(x) \right) }=\int_{a}^{b}{ f(x)dx}±\int_{a}^{b}{g(x)dx }\\3.a<b,f(x)≤g(x)⇒\int_{a}^{b}{f(x)dx }≤\int_{a}^{b}{g(x)dx}\\4.\int_{a}^{b}{ f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x) }\\5.a<c<b,\int_{a}^{b}{f(x)dx }=\int_{a}^{c}{ f(x)dx}+\int_{c}^{b}{ f(x)dx}\)
Primena određenog integrala data je na stranama rešenih zadataka u kojima se izračunava površina -osnovni nivo, površina -napredni nivo, zapremina i dužina luka krive .