Realne funkcije

Grafik funkcije

Da bi ispitali tok i nacrtali grafik funkcije neophodno je da ispitamo sledeće stavke.

Odrediti oblast definisanosti funkcije D ( f )
- Racionalne funkcije \( fukcija~ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, gde~ su~ P(x) ~i~ Q(x) ~polinomi ~sa~ realnim ~koeficijentima,\\ ~nije~ definisana~ za ~sve ~vrednosti~ x ~za~ koje~ je~ Q(x)=0\)
- Iracionalne \( Funkcija ~f(x)=\sqrt[n]{P(x)},~gde~ je ~n ~paran ~broj ~je ~definisana ~za~ sve ~vrednosti ~za~ koje ~je~ P(x)≥0. \\Ako~je~ n ~neparan~ broj~ funkcija ~je ~definisana ~za ~sve~ vrednosti ~x∈R.\)
- Logaritamska \(Funkcija ~f(x)=log_{b(x)}P(x) ~je~definisana~za~∀x~za koje je P(x)>0, b(x)>0~i~b(x)≠1.\)
- Trigonometrijske \(Funkcije~ f(x)=sinP(x)~ i~ f(x)=cosP(x)~ su~definisane ~x∈(-∝,∝)\\f(x)=tgP(x)=\frac{sinP(x)}{cosP(x)}~je~definisana~za~cosP(x)≠0\\f(x)=ctgP(x)=\frac{cosP(x)}{sinP(x)}~je~definisana~za~sin(x)≠0\\Problem ~definisanosti~ rešava~ se~ po~ definiciji~ definisanosti~razlomka.\)
- Inverzne trigonometrijske \( Funkcije~f(x)=arctgx~i~f(x)=arcctgx~su~definisane~za~∀x∈R\\Funkcije~f(x)=arctgP(x)~i~f(x)=arcctgP(x)~su~definisane~za~-1≤P(x)≤1.\)
Odrediti nule i znak funkcije
- Nula funkcije je ona vrednost x za koju je y=0.
- \( y>0, x∈(a,b)\) grafik funkcije je iznad x-ose
- \( y<0, x∈(a,b) \)grafik funkcije je ispod x-ose
Ispitati specijalna svojstva funkcije (parnost, periodicnost)
- Parnost
- Za funkciju kažemo da je parna (grafik je simetričan u odnosu na y-osu) ako je\( f(x)=f(-x).\)
- Za funkciju kažemo da je neparna (grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak) ako je \(f(x)=-f(-x)\).
- Ako za funkciju \( f(x)\) ne važi ni jedno od navedenih pravila kažemo je da je ni parna ni neparna.
- Periodičnost
- Tigonometrijske funkcije
Ispitati ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti
Odrediti asimptote grafika funkcije
- \( Horizontalna~asimptota:~~\lim_{ x \to \infty }f(x)=a,~~y=a;~~~~\\Vertikalna~ asimptota:~~\lim_{ x \to b }f(x)=±∝,~~x=b\\Kosa~asimptota:~~y=kx+n,~~k=\lim_{ x \to \infty }\frac{f(x)}{x},~~n=\lim_{ x \to \infty }\left(f(x)-kx \right)\)
Odrediti prvi izvod funkcije , njegove nule i znak
Odrediti intervale monotonosti i lokalne ekstremume
- Određivanje monotonosti bez pravog izvoda
  - \( x_1<x_2 \iff f(x_1)<f(x_2) \)funkcija raste (rastuća funkcija)
  - \( x_1<x_2 \iff f(x_1)>f(x_2)\) funkcija opada (opadajuća funkcija)
  - \( x_1<x_2 \iff f(x_1)≥f(x_2) \)funkcija ne raste (nerastuća funkcija)
  - \( x_1<x_2 \iff f(x_1)≤f(x_2)\) funkcija ne opada (neopadajuća funkcija)
- Određivanje monotonosti na osnovu znaka prvog izvoda
  - \( f’(x)>0, f(x)\) raste
  - \( f’x<0,f(x) \)opada
  - \( f’(x)=0, x\) je potencijalna ekstremna vrednost (ako u tački x funkcija menja monotonost raste pa opada i ako je drugi izvod funkcije u toj tački <0 funkcija ima maksimum, obrnuto je minimum)
Odrediti drugi izvod funkcije , njegove nule i znak
Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i prevojne tacke funkcije
- f’’ (x)>0, f(x) udubljena
- f’’x<0, f(x) ispupčena
- f’’ (x)=0, x je prevojna tačka funkcije
Nacrtaj grafik funkcije sledećim redom
- Asimptote
- Nule funkcije
- Ekstremne vrednosti
- Prevojne tačke