Verovatnoća slučajan događaj

Slučajni događaji, prostor i polje događaja

Skup svih mogućih ishoda jednog ogleda (eksperimenta) naziva se potpun sistem događaja (prostar elemetarnih događaja)

Ω={ω₁, ω₂, ω₃,…, ω_n}.

Svaki podskup skupa Ω se naziva  slučajani događaj. Događaj koji se uvek realiztuje je   siguran događaj , a događaj  Æ  je nemoguć događaj.

Opcije događaja:

A nadvučeno ili A^c naziva se komplementan ili suprotan događaj. A^c=ΩA

A∪B- unija događaja realizuje se kada se realizuje bar jedan od događaja A i B.

A∩B- presek događaja realizuje se kada se realizuju oba događaja A i B.

Događaji A i B su disjunktni ako je AB=∅, a ako je A⊂B, kaže se da događaj a povlači događaj B.

Ako važi da je A⊂B i B⊂A događaji su identični.

Razlika događaja – AB ili A–B=AB^c znači događaj koji se realizuje kada se realizuju oni ishodi ω koji pripadaju događaju A, a ne pripadaju događaju B.

Simetrična razlika događaja – AΔB=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-AB

Disjunktni događaji – A∩B=AB=∅ znači da se događaji ne mogu istovremeno ostvariti.

 

 

Zadaci:

1.Odredi skup svih elementarnih događaja za sledeće oglede

a) bacanje jednog dinara; b)bacanje dva dinara; c)bacanje dve kocke.

Rešenje :

a)Ω={P, G} pismo glava;

b) Ω={PP,PG,GP,GG};

c) Ω={11,12,13,14,15,16,

21,22,23,24,25,26,

31,32,33,34,35,36,

41,42,43,44,45,46,

51,52,53,54,55,56,

61,62,63,64,65,66}.

2.Baca se kocka i registruje broj koji se pojavi na gornjoj strani. Neka je događaj A: pada broj manji od 3, a događaj B: pada broj manji od 5. Opisati prostor ishoda, kao i događaje A i B.

Rešenje:Ω={1,2,3,4,5,6};    A={1,2};   B={1,2,3,4};

 

Klasična definicija verovatnoće

Imamo prostor elemetnarnih događaja  i događaj  podskup Ω, gde je Ω={ω₁, ω₂, ω₃,…, ω_n}.. Tada verovatnoću događaja A određujemo prema:

P(A)=m/n 

gde su: n – broj svih mogućih ishoda

m – broj povoljnih ishoda za događaj A

Verovatnoća – geometrijska definicija 

Proširenje klasične definicije verovatnoće na beskonačan broj slučajeva je geometrijska verovatnoća:

P(A)= površina(g)/ površina(G)

gde su: G – oblast na koju može pasti slučajno bačena tačka

g – oblast čija je površina proporcionalna verovatnoći da tačka padne u nju (ne zavisi od oblika i položaja oblasti) i gÌG.

Verovatnoća – statistička definicija 

n(A) – broj realizacija događaja A u n opita 0≤n(A)≤1

n(A)/n – relativna frekvencija događaja A

f_r(A)=n(A)/n

Za dovoljno veliko n frekvencija događaja A je skoro konstantna vrednost i ona se uzima za verovatnoću događaja A.

 

Uslovna verovatnoća

Verovatnoća proizvoda dva nezavisna događaja Ai B jednaka je proizvodu njihovih verovatnoća, tj. P(AB)=P(A)·P(B).

Verovatnoća proizvoda dva zavisna događaja A i B jednaka je proizvodu bezuslovne verovatnoće prvog i uslovne verovatnoće drugog, pod uslovom da se prvi događaj realizovao:  P(AB)=P(A) P _A(B)=P(B) P_B(A).

 

Formula totalne verovatnoće

Neka je dat događaj A i događaji H₁ ,H_2, … , H_n, koji se medu sobom isključuju i čine potpun sistem dogadaja. Pretpostavimo da se dogadaj A može realizovati istovremeno sa jednim od događaja  H₁ ,H_2, … , H_n.. Tada je:

P(A)= P(H₁)P_H1 (A)+ P(H₂)P_H2 (A)+… + P(H_n)P_Hn (A) ,

Obrazac se naziva formula lotalne verovalnoće.