Elipsa definicija
Elipsa je skup tačaka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja svake tačke tog skupa od dve stalna tačke konstantan. Te stalne tačke su žiže ili fokusi elipse. Ako je rastojanje između žiža 2c, a zbir rastojanja tačke M(x, y) od fokusa jednak 2a, onda je jednačina elipse.
Pokreni animaciju konstrukcije elipse
pri čemu je \( b^2=a^2-c^2. \)
Kanonski oblik centralne jednačine elipse može se zapisati :
\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \)
Elipsa osobine
Elipsa je upisana u pravougaonik čije su dužine stranica \( 2a \) i \( 2b \). Tačke u kojima elipsa seče ose su temena elipse
\( F_1(-c,0),F2(c,0)\) – žiže (fokusi) elipse .
\( 2a\)- velika osa (a je velika poluosa) elipse.
\( 2b\)- mala osa (b mala poluosa) elipse.
\( r_1=F_1M, r2=F2M\), -potezi ( radijus vektori) \(r_1+r_2=2a\), .
\( c^2=a^2-b^2\)- linearni ekscentricitet.
\( e=c/a\) – numerički ekscentricitet .
Elipsa može da se nacrta tako što se uzme konac dužine \( 2a \), karajevi konca se fiksiraju na rastojanju \( 2c \), olovkom se zategne kanap i crta linija. Koordinatni sistem se postavi tako da x osa prolazi kroz fiksirane tačke \( F_1 \) i \(F_2\), a y osa je simetrala duži \( F_1F_2 \).
Primer 1.
Odrediti jednačinu elipse ako se dva njena temena nalaze u tačkama \(A(-9,0) \) i \( V(9,0) \), a jedna žiža ima koordinate \( F_1(-6,0). \)
Na osnovu koordinate tačaka A i V sledi da su A i V temena elipse na h osi, tj,
\( a=9, c=6 \)
\(b^2=a^2-c^2=81-36=45 \)
Jednačina elipse je \( \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{45}=1
Prava i elipsa
Neka je elipsa data jednačinom \(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\) a prava l:\( y=kx+n \)
Rešićemo sistem:
\(b^2x^2+a^2(kx+n)^2=a^2b^2\)
\(b^2x^2+a^2(k^2x^2+2kxn+n^2)=a^2b^2 \)
\(b^2x^2+a^2k^2x^2+2a^2kxn+a^2n^2-a^2b^2=0\)
\(x2(b^2+a^2k^2)+2a^2kxn+a^2n^2-a^2b^2=0\)
\(D=4a^4k^2n^2-4(b^2 +a^2k^2)(a^2n^2-a^2b^2 )\)
\(D=4a^4k^2n^2-4(a^2b^2n^2+a^4k^2n^2-a^2b^4-a^4b^2k^2)\)
\(D=a^4k^2n^2-a^2b^2n^2-a^4k^2n^2+a^2b^4+a^4b^2k^2\)
\(D=a^2b^2(-n^2+b^2+a^2k^2)\)
\(D=a^2b^2(a^2k^2+b^2-n^2)\)
Ako je
D>0 jednačina ima dva realna i različita rešenja, a to znači da prava seče elipsu. Ako je D<0 jednačina nema realnih rešenja, pa prava nema zajedničkih tačaka sa elipsom. Ako je D=0 tada jednačina ima dvostruko rešenje- prava dodiruje elipsu.
\(k^2a^2+b^2-n2>0\) -prava seče elipsu;
\(k^2a^2+b^2-n^2<0\) -prava nema zajedničkih tačaka sa elipsom i
\(k^2a^2+b^2-n^2= 0\)-prava dodiruje elipsu.
Uslov dodira prave i elipse se može zapisati u obliku
\(k^2a^2+b^2=n^2\)
Ako tačka M(x_0,y_0) pripada elipsi onda je jednačina tangente kroz tu tačku \( xx_0/a^2+yy_0/b^2=1 \)