Parabola
Parabola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanja svake tačke tog skupa od jedne stalna tačke jednako rastojanju od jedne stalne prave. Ta stalna tačka je žiža ili fokus parabole, a stalna prava je direktrisa parabole
.
Neka je rastojanje žiže F od direktrise jednako p, i x osa sadrži žižu i normalna je na direktrisu, a y osa je na polovini rastojanja između žiže direktrise, onda žiža ima koordinate
, a jednačina parabole je 
.
Dobijena jednačina je kanonska jednačina parabole.
Pokreni animaciju konstrukcije parabole.
Prava i parabola
Neka je parabola data jednačinom y2=2px
a prava y=kx+n
Rešavanjem sistema te dve jednačine dobijaju se veze izmeću prave i parabole
p-2kn>0 – prava seče parabolu;
p-2kn <0 – prava nema zajedničkih tačaka sa parabolom i
p-2kn =0 – prava dodiruje parabolu.
Uslov dodira prave i parabole se može zapisati u obliku
p=2kn
Ako tačka M(x0,y0) pripada paraboli onda je jednačina tangente kroz tu tačku
y0y=p(x+x0)
Primer 1 : Odrediti jednačinu parabole \( y^2=2px\) koja sadrži tačku M(2,-4).
Ako se tačka nalazi na paraboli, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu parabole.
\( y^2=2px~~~~~~~x=2~~~y=-4\) ,
\( 16=4p ~~~~ p=4\)
jednačina parabole je \( y^2 = 8x\)
Primer 2: Napisati jednačinu parabole, ako je njena tangenta prava \( 3x+2y+3 = 0\).
Napisaćemo jednačinu prave u eksplicitnom obliku.
\( 2y=-3x-3 \)
\( y = \frac{-3}{2}x+\frac{-3}{2}\)
Koeficijent pravca je \( k = \frac{-3}{2} \), a presek sa y osom \( y = \frac{-3}{2} \).
Uslov dodira prave i parabole je \( p = 2kn \) odnosno \( p = 2 \big(\frac{-3}{2} \big)\big(\frac{-3}{2} \big) \) ⇒ \( p = \frac{9}{2} \)
Jednačina parabole je \(y = 9x\)