Napomena : U slučaju podele duži u datoj razmeri vrlo je bitan smer podele. Na slici je početna tačka podele označena sa \( (x_2,y_2)~ a ~krajnja~ (x_1,y_1) \). U sledećem primeri obeležićemo suprotno.
Primer 2: Duž АВ, gde je А(-3,-2), B(9, 10) podeliti: а) tačkom D u odnosu 5:7; б) na tri jednaka dela ; в) na tri dela koji se odnose u razmeri 1 :2 :3 .
- a) Podeli duž u razmeri 5:7.
\( Neka ~je:\\ A(x_{1},y_{1})~~i~~B(x_{2},y_{2})\\ A(-3,-2)~~~i~~~B(9,10) \)
\( m=5~~~i~~~n=7\\\frac{m}{n}=λ\\λ=\frac{5}{7} \)
Tačka podele neka bude P, a prilagođeno našem zadatku obrazac može izgledati i ovako:
\[ x_{p}=\frac{x_{1}+λ·x_{2}}{1+λ},~~⇒~~x_{p}=\frac{-3+\frac{5}{7}·9}{1+\frac{5}{7}} ~~⇒~~ x_{p}=\frac{\frac{-21+45}{7}}{\frac{7+5}{7}} ~~⇒~~x_{p}=\frac{24}{12}=2 \]
\[ y_{p}=\frac{y_{1}+λ·y_{2}}{1+λ} ~~⇒~~y_{p}=\frac{-2+\frac{5}{7}·10}{1+\frac{5}{7}} ~~⇒~~y_{p}=\frac{\frac{-14+50}{7}}{\frac{7+5}{7}} ~~⇒~~y_{p}=\frac{36}{12}=3~~\]
Koordinate tačke P su (2,3)
b)Podeli duž na tri jednaka dela.
Po tekstu zadatka znamo da je AC=CD=DB . Duž je podeljena na tri dela. Sledi da je AC:CB=1:2
\[ C\left(x_{C},y_{C} \right) ~~~~λ=\frac{1}{2} \]
\[ ~~⇒~~x_C=\frac{-3+\frac{1}{2}·9}{1+\frac{1}{2}}~~⇒~~x_C=\frac{-3+\frac{9}{2}}{1+\frac{1}{2}}~~⇒~~x_C=\frac{\frac{-6+9}{2}}{\frac{2+1}{2}}~~⇒~~x_C=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1 \]
\[ ~~⇒~~y_C=\frac{-2+\frac{1}{2}·10}{1+\frac{1}{2}}~~⇒~~y_C=\frac{-2+\frac{10}{2}}{1+\frac{1}{2}}~~⇒~~y_C=\frac{\frac{-4+10}{2}}{\frac{2+1}{2}}~~⇒~~y_C=\frac{\frac{6}{2}}{\frac{3}{2}}=2 \]
Koordinate tačke C su C(1,2)
AD:DB=2:1
\[ D\left(x_{D},y_{D} \right) ~~~~λ=\frac{2}{1}=2 \]
\[ ~~⇒~~x_D=\frac{-3+2·9}{1+2}~~⇒~~x_D=\frac{-3+18}{3}~~⇒~~x_D=\frac{15}{3}=5 \]
\[ ~~⇒~~y_D=\frac{-2+2·10}{1+2}~~⇒~~y_D=\frac{-2+20}{3}~~⇒~~y_D=\frac{18}{3}=6 \]
Koordinate tačke D su D(5,6)
c)podeli duž u odnosu 1:2:3
Duž je podeljena na 6 delova 1+2+3=6 pa su razmere AC:CB=1:5 i AD:DB=3:3 srediste duži AB.
Zadatak nastavite samostalno .
Rešenje zadatka je C=(-1,0) i D=(3,4)