Aksiome pripadanja, rasporeda,podudarnosti, paralelnosti

Osnovni pojmovi u geometriji su tačka, prava,  ravan.

Osnovne  relacije u geometriji su podudarnost  ≅ i  između ~A-B-C.

Svi ostali pojmovi su izvedeni i za njihovo uvođenje koristimo: definicije, aksiome, teoreme, leme…

Definicija  je  iskaz kojim  se  nedvosmisleno određuje  neki  pojma.

Aksioma  ili  postulat  je  iskaz  koji  je  očigledno  tačan  i  ne  dokazuje  se .  Teorema  je iskaz  u  kom  se  uočava  da  neki matematički   pojam  ima  još  neke  karakteristike,  osim  onih  datih  u  definiciji tog  pojma   i taj  se iskaz mora  dokazati.  Dok se iskaz ne dokaže,  taj  iskaz   zovemo propozicijom,  hipotezom.

Lema  je  dokazana  hipoteza koja,  u principu,  nema  korisnost  osim  u  dokazivanju  neke  veće teoreme.

 

Aksiome pripadanja

1.Svaka prava sadrži najmanje dve tačke A i B.

2. Postoji  najmanje  jedna  prava  koja sadrži  dve tačke  A  i  B.

3. Postoji  najviše  jedna prava koja sadrži dve različite tačke  A  i  B.  

4 Postoje  tri tačke  koje ne  pripadaju  istoj  pravoj. 

5. Za  bilo  koje  tri nekolinearne  tačke A, B  i C,  postoji ravan π koja sadrži te tri tačke. 

6.Postoji najviše jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B i C.

 7.Ako dve različite tačke A i B neke prave p pripadaju ravni π tada svaka tačka prave p pripada ravni π.
 
8.Ako dve~različiteravni π i ω imaju zajedničku tačku  A onda one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku B.
 
9. Postoje četiri tačke A, B, C, D koje ne  pripadaju istoj ravni (nekomplanarne tačke). 

 

Teoreme izvedene iz navedenih aksioma

Teorema 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve različite tačke A i B.
 
Teorema 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sarži tri nekolinearne tačke A,B i C.
 
Teorema 3. Prava i tačka van prave odredjuju jednu ravan .
 
Teorema 4. Dve prave koje se seku odredjuju jednu ravan.
 
Teorema 5. Ako dve različite ravni poseduju najmanje jednu zajedničku tačku, one se seku po jednoj pravoj.
 
 
 
 

Aksiome rasporeda

1.Ako su A,B i C tri kolinearne tačke takve da je A-B-C, tada su svake dve od tačaka A,B,C medju sobom različite.

2. Ako su A,B,C tri kolinearne tačke takve da je A-B-C, tada je C-B-A.

3. Ako su A,B,C tri kolinearne tačke takve da je A-B-C, tada nije A-C-B.

4. Ako su A i B dve različite tačke neke prave p, tada na pravoj p postoji tačka C , takva da je A-B-C.

5. Ako su A,B,C tri različite kolinearne tačke ,tada važi najmanje jedna od relacija A-B-C, A-C-B, C-A-B.

6. (Pašova aksioma) Ako su A,B,C tri nekolinearne tačke i p prava koja pripada ravni ABC, ne sadrži tačku A seče pravu BC u tački P takvoj da je B-P-C, tada prava p seče pravu AC u tački Q takvoj da je A-Q-C ili pravu AB u tački R takvoj da je A-R-B

Teorema 1. Ako su A i B dve različite tačke, tada postoji tačka C izmedju tačaka A i B .

 
 
 

Aksiome podudarnosti

 1.Ako je AB≅CD i A=B, tada je C=D.(≅-kongruentno)
 
2.Za svake dve tačke A i B važi AB≅BA. 
 
3.  Ako  su A i B dve tačke prave p i A’ tačka na pravoj p ili nekoj drugoj pravoj p’ tada postoji jedinstvena tačka B’ prave p koja je sa iste strane od A’ kao i B od~ B’ i takva da je duž AB kongruentna (jednaka) duži A’B’ .
 
4. Ako su duži A’B’ i A“B” kongruentne istoj duži AB tada su i uži A’B’ i A“B” kongruentne,  tj. A’B’ ≡ AB i A“B” ≡ AB tada je iA’B’ ≡ A“B”.
 
5. Neka su AB i BC dve  duži koje pripadaju pravoj p i koje nemaju zajedničkih tačaka, i neka su A’B’ i B’C’ dve duži koje pripadaju pravoj p ili nekoj drugoj pravoj p’ koje takođe nemaju zajedničkih tačaka.Ako je pri tome još AB ≡ A’B’ i BC ≡ B’C’ tada je i AC ≡ A’C’ .

Aksiome paralelnosti 

Za svakutačku B i svaku pravu p koja ne sadrži tačku B u ravni koja je njima određena postoji jedinstvena prava q takva da:

(i) q sadrži tačku B,

(ii) p ∩

q = ∅,
tj. p i q su paralelne prave.

 

Povratak na stranu Planimetrija

Matematički časopis Tangenta