Izometrije

‌

Osna simetrija

Definicija:

Preslikavanje ravni, pri kojem se svaka tačka A te ravni preslikava u tačku A’ , simetričnu sa A u odnosu na pravu s  te ravni, nazivamo osnom simetrijom u odnosu na pravu ( osu ) s. Najčešća oznaka za osnu simetriju je S_s ili I_s.

Za dve figure F i F’ neke ravni kažemo da su osno simetrične u odnosu na pravu s te ravni  , ako svakoj tački X figure F odgovara tačka X’ figure F’ , tako da je S _s (X ) = X’ . Naravno, važi i obrnuto, svakoj tački Q’ figure F’ odgovara tačka Q figure F tako da je    S_s ( Q ) = Q’. Osna simetrija je izometrija sa osobinama :

• Osna simetrija je indirektna izometrijska transformacija.
• Osnom simetrijom se sve tačke ose preslikavaju u sebe. Važi i obrnuto, ako osna simetrija preslikava neku tačku u sebe onda se tačka nalazi na osi
• Osnom simetrijom se svaka prava normalna na osu preslikava u sebe
• Ako je S_s(X)=X’ tada je i S_s(X’)=X
• Ako je S_s(F)=F’ tada je i S_s(F’)=F
• Osno simetrične figure su podudarne

 

 

•  

Centralna simetrija

Neka je S fiksirana tačka u ravni. Uočimo proizvoljnu tačku x različitu od S . Tada postoji jedinstvena tačka X’ takva da je X-S-X’ i XS≅SX’.

Za tačke X i X’ kažemo da su simetrične u odnosu na tačku S. Tačka S je centar simetrije.

Još se može reći i da je tačka X simetrična sa tačkom X’ u odnosu na tačku S, odnosno da je X’ simetrična sa X u odnosu na S.

Definicija:

Preslikavanje koje svaku tačku A neke ravni α prevodi u tačku A’ koja je simetrična sa tačkom A u odnosu na tačku S te ravni α , naziva se centralna simetrija ravni α sa centrom u S.

Centralna simetrija se najčešće obeležava sa S_S  ili I_S

Definicija:

Za figuru F ravni α kažemo da se preslikava na figuru F’ centralnom simetrijom S_S  ako svakoj tački A figure F odgovara tačka A’ figure F’ koja je centralno simetrična tački A: A’=S_S (A) i obrnuto.

Za centralnu simetriju možemo reći da ima sledeće osobine:

• Centralna  simetrija je indirektna izometrijska transformacija.
• Centralna  simetrija preslikava jedino cetar simetrije u sebe. Važi i obrnuto, ako centralna  simetrija preslikava neku tačku u sebe onda je to centar simetrije .
• Prave koje sadrže centar simetrije preslikavaju se u sebe
• Ako je S_s(X)=X’ tada je i S_s(X’)=X
• Ako je S_s(F)=F’ tada je i S_s(F’)=F

 

Rotacija

Neka je O fiksirana tačka ravni  π i α orijentisani ugao ravni. Uočimo proizvoljnu tačku X ravni različitu od O. Postaji jedinstvena taka X’ takva da je OX≅OX’ i ugao XOX’ , orijentisani ugao α. Kažemo da je tačka X’ dobijena rotacijom tačke X oko tačke O za orijentisani ugao α

Neka je O fiksirana tačka ravni  π i α orijentisani ugao ravni. Rotacija ravni  π oko tačke O za orijentisani ugao α je preslikavanjr R_o,α: π→ π koje svakoj tačke X ravni π dodeljuje tačku X’ iste ravni koja je dobijena rotacijom oko tačke O za orijentisani ugao α. Tačka O se naziva cetar rotacije , a α ugao rotacije.

Rotacija je izometrija sa osobinama :

• Rotacija je direktna izometrijska transformacija
• Jedina tačka koja se rotacijom preslikava u sebe je centar rotacije.
• Rotacija za opružen ugao je centralna simetrija . Rotacija za pun ugao je koincidencija
• Ako je R_o,α (X)=X’ , onda je rotacija R_o,-α(X’)=X

 Translacija

Neka jedati vektor koji nije nula vektor i čiji je pravac paralelan sa ravni pi. Uočimo proizvoljnu tačku X ravni. Tada, postoji jedinsvena tačka X’ takva da je vektor XX’≅ . Kažemo da je tačka X’ dobijena translacijom tačke X za vektor .

Definicija:

Neka je  dati vektor čiji je pravac paralelen sa ravni π. Translacija ravni π za vektor je preslikavanje     T:π→π, koje svakoj tački X ravni dodeljuje tačku X’ iste ravni koja je dobijena translacijom za vektor

Translacija je izometrijsa sa sledećim osobinama:

• Translacija je direktna izometrijska transformacija
• Ne postoji tačka koja se translacijom preslikava u sebe
• Svaka prava šparalelna vektoru translacije preslikava se u sebe.
• Translacijom se prava preslikava u paralelnu pravu.
• Ako  T(X)=X’ tada je  T(X’)=X

Povratak na stranu Planimetrija