Neka je u ravni π data kružnica L(direktrida, vodilja) i tačka S (V), tačka   koja ne pripada ravni π . Skup tačaka svih pravih u prostoru koje sadrže tačku S i jednu tačku  kružnice L , obrazuju površ koju nazivamo kružna konusna površ.

Tačka S je vrh konusne površi.

 

Kupa je telo ograničeno konusnom površi između temena S i ravni α  i krugom koji pripada ravni  α .

 

Ako je prava koja sadrži tačku S i centar kruga osnove, normalna na ravan osnove kupr, tada je kupa prava. Ako ovaj uslov nijeispunjen tada je kupa kosa. 

 

Aminacija : Konusna površ i kupa

 

Deo konusne površi kod kupe nazivamo omotačem kupe, a krug kojim je ograničena – osnovom ili bazom. Ako je centar osnove kupe normalna projekcija vrha kupe na ravan osnove, tada takvu kupu zovemo prava kupa, u suprotnom je to kosa kupa.

Prava kupa je ograničena delom konusne površi (omotač) i jednim krugom, osnova. Ako je krug poluprečnika r, njegova površina je B=r2π. Ako omotač razvijemo u ravan dobićemo jedan kružni isečak čiji je poluprečnik jednak dužini izvodnica, koju označavamo sa s a dužina kružnog luka jednaka obimu kruga osnove, odnosno 2rπ

Površina omotača jednaka M= rπs. Dakle površina prave kupe, čiji je poluprečnik r, a dužina izvodnice s, jednaka je
      P=B+M=r2π+rπs=rπ(r+s)

 

Ravni preseci kupe i ravni

 

 

Presek kupe i ravni koja je paralelna osnovi kupe

 

Presek kupe i ravni paralelene osnovi , jeste krug homotetičan osnovi kupe.

 

 

Animacija: Kupa i ravan -paralelan presek

Presek kupe i ravni koja je normalna na ravan  osnove kupe 

 

Presek kupe i ravi koja je noramalna na osnovu kupe je tačka,zatvorena parabola,  trougao… Ako ravan sadrži osu kupe- osni presek kupe.

 

 

Animacija: Kupa i ravan -Normalan presek

Presek kupe i ravni koja nije ni paralelna ni normalna na ravan osnove  kupe

 

Presek ravni koja nije paralelna ravni i ne zaklapa ugao od π/2 sa ravni osnove,  naziva se kos presek. Presek može biti, tačka, elipsa, zatvorena parabila… 

 

 

Animacija: Kupa i ravan -kos presek

 Zarubljena kupa

 Ako kupu presečemo jednom ravni koja je paralelna sa ravni osnove, dobićemo dva tela: jedanu (manju) kupu i telo koje ćemo nazvati zarubljena kupa. Zarubljena kupa je, dakle, ograničena sa delom konusne površi (omotačem) i sa dva kruga koji pripadaju paralelnim ravnima.

      Koristeći se formulom za izračunavanje površine prave kupe, izračunaćemo površinu prave zarubljene kupe. Neka su dati poluprečnici i r1 osnova zarubljene kupe i dužina izvodnice s. Dopunimo zarubljenu kupe do prave kupe, kao na apletu ispod, njenu izvosnicu označimo sa s1.

      Površina osnova prave zarubljene kupe se lako izračunavaju: B=π r2B=π r12

Površinu omotača nalazimo kao razliku površina veće i manje kupe. Pa je površina omotača jednaka

M=π rs1π r1(s1s)=π(r−r1)s1+π r1s,

još je potrebno izraziti s1 u funkciji od r,r1 i s. Iz sličnosti pravouglih trouglova, čije su hipotenuze s i s1, imamo odnos (r−r1):r=s:s1, odakle je . Sada dobijamo

M=πrs+πr1s=π(r+r1)s.

Dakle, površina prave zarubljene kupe je:

P=B1+B+M=r2π+r12π+π(r+r1)s.

Povratak na stranu Stereometrija