Kocka je pravilna četvorostrana prizma čija se mreža satoji od 6 podudarnih kvadrata. 

 

 

Bilo koja strana kocke može biti baza B=a2. Omotač je ima 4 kvadrata M=4a2. Povešina kocke kao piramide je P=2B+M=6a2, zapremina V=BH=a3.

Ravan koja je normalna na baze kocke u preseku  sa kockom gradi dijagonalni presek kocke. Dijagonalni presek je pravougaonik sa stranicama a i d Pdp=ad.

Ravan koja sadrži osu kocke u preseku sa kockom daje osni presek. Osni presek može biti u isto vreme i dijagonalni Pop=ad ,a ako to nije onda je kvadrt Pop=a2.

 

Zadatak:

Data je kocka ivice 1m. Nacrtaj presek  kocke i ravni koja sadrži dijagonalu donje osnove i središte bilo koje ivice gornje osnove, a zatim izračunaj površinu preseka.

Neka ravan sadrži dijagonalu AC donje osnove i tačku M gornje osnove .Presek ravni i kocke je trapez. AB je paralelno sa HM jer pripadaju paralelnim stranicama kocke .  Trougao A1C1B1  je sličan sa trouglom HMB1 (HM paralelno sa AC paralelno sa A1C1 ) i HM je srednja linija trougla A1C1B 1, HM=1/2. 

 

Trougao AA1H i CC1M su podudarni trouglovi (A1=C1=90, AA1=CC1=1m, C1M=A1N=a/2) iz čega sledi podudarnost svih stranica i uglova navedenih trouglova. Za nas je važno da je AN=CM. Trape je jednakokraki  a=a2

Iz pravouglog trougla AA1H možemo izračunati krak trapeza.

Postavimo ravan koja sadrži dijagonalu DB1 i tačku M. Posmatrajmo ΔDD1M i ΔMA1B1 je središte duži A1D1 pa je MD1 =A1M, DD1=A1B1 i ∠DMD1 =∠MA1B1 pa su trouglovi podudarni. Iz navedene podudarnosti sledi da je MB1 =MD . Zaključujemo da je ΔMDB1 jednakokraki. S je središte koje deli sve dijagonale. U jednakokrakom  ΔMDB1

MS je visina pa je tvrđenje zadatka dokazano.

U aplikaciji koja sledi možete da pogledate 3D presek iz raznih uglova – rotaciju uključivanjem ikonica iz gornjeg desnog ugla.

3D prikaz

Zadatak :

Dužina ivice kocke je 4. Izračunaj površinu preseka kocke i ravni koja sadrži središta ivica kocke koja polaze iz istog temena

U aplikaciji koja sledi možete da pogledate 3D presek iz raznih uglova – rotaciju uključivanjem ikonica iz gornjeg desnog ugla.

3D prikaz slike

Zadatak :

Data je kocka ABCDA1B1C1D1. Neka je M središte ivice A1D1 i S središte kocke dokazati da je a)MS⊥B1D

b)Presek kocke i rani koja sadrži S1 i normalna je na B1D pravilan šestougao.

Iz podudarnosti trouglova sledi da je PQ=QR=RS=ST=TO=OP, postoji i jednakost dijagonala QT=SP=RO iz čega sledi da je PQRSTO pravilan šestougao.

U aplikaciji koja sledi možete da pogledate 3D presek iz raznih uglova – rotaciju uključivanjem ikonica iz gornjeg desnog ugla.

3D prikaz slike

Neka je data jedinična kocka ABCDA1B1C1D1i na jednoj njenoj stranici tačka M. Naći najkraće rastojanje od tačke M do temena kocke. Dozvoljeno je kretati se samo po omotaču kocke.

U zadatku nije dato teme moramo razmatrati više slučajeva.

Ako i teme i tačka M pripadaju istoj stranici, onda je najkraće rastojanje duž koja ih spaja.

Na susednim stranicama po dva temena pripadaju stranici u kojoj je tačka a dva naspramnoj stranici.

Analiziraćemo taj slučaj – teme pripada naspramnoj stranici. Na slici su rastojanja obeležena sa d1 , d2,   d. Tačku M možemo odrediti njenim položajem na jednoj strani kocke sa M(x,y) , gde je x odstojanje od jedne ivice kocke (AD na slici ) a y odstojanje od susedne ivice (AAna slici) . Oznaka tačke M može se shvatiti i kao položaj tačke u koordinatnom sistemu postavljenom u tački A.

Izračunaćemo nevedena rastojanja: