­Skupovi se  najčešće obeležavaju velikim latiničnim slovima A,B ,…..X, Y,… , a elemente skupa malim latiničnim slovima a,b,…,x,y,…
Ako je x element skupa X , pišemo x∈X, a ako ne pripada skupu X, pišemo x∉X. Oznake ćemo čitati: “x pripada skupu X” ili “x je element skupa X”. Oznaku x∉X ćemo čitati “ x ne pripada skupu X” ili “ x nije element skupa X”

Članove skupa koji zadovoljavaju neko svojstvo (definiciju) S možemo zapisati

{x Ι S(x)} ili {x Ι x ima svojstvo S},

Ako imamo skup  X={-1,0,1,2} i neka ja svojsto formiranja skupa A: x∈X i x∈N

A={xΙ x ∈X∧x ∈N }={1,2}

Skup maže biti prazan ako nema elemenata koji zadovoljavaju svojstvo po kom formiramo skup i obeležava se sa ∅.

Skupovi A i B su  jednaki  ako su svi elementi jednog skupa ujedno elementi drugog skupa, i obrnuto, svi elementi drugog skupa su elementi prvog skupa . Zapisujemo: A=B ako i samo ako (∀x) (x∈ A ⇔ x ∈ B )

Definicija:

Kažemo da je skup B podskup skupa A, što označavamo B⊂A, ako su svi elementi skupa B takođe i elementi skupa A, tj. B⊂ A ako i samo ako (∀x) (x ∈B ⇒x∈ A )
Relacija uvedena ovom definicijom se zove relacija inkluzije.

Prazan skup je podskup svakog skupa.

 

 

skupovne operacija 

 

Skupovi unija

 

Neka su A i B skupovi na kojima će se definisati osnovne skupovne operacije.

Unija

Definicija:
Skup svih elemenata koji su elementi bar jednog od skupova A ili B , zove se unija skupova A i B i označava se sa A ∪ B. A ∪ B={xΙx∈A ∨ x∈B}

Na dijagramu bi to izgledalo ovako:

Skupovi unija
Skupovi presek

Presek

Definicija:

Skup svih elemenata koji su elementi skupa A i skupa B zove se presek skupova A i B i obeležava se sa A ∩ B. A ∩ B={xΙx∈A ∧ x∈B}

 Razlika

Definicija:
Skup svih elemenata koji su elementi skupa A ali nisu elementi skupa B zove se razlika redom skupova A i B u oznaci AB.
AB={ xΙ x∈A ∧ x∉B } 

Razlika B razlika A

Razlika

Definicija:
Skup svih elemenata koji su elementi skupa B ali nisu elementi skupa A zove se razlika redom skupova B i A u oznaci BA. 
BA={ xΙ x∈B ∧ x∉A } 

Simetrična razlika

Definicija:
Skup (AB)∪(BA) naziva se simetrična razlika i najčešće se obeležava sa Δ
AΔ B= (AB)∪(BA).  AΔ B={ xΙ x∈A ∧ x∉B }∪ { xΙ x∈B ∧x∉A } 

Na dijagramu je:

 

Simetrična razlika

Partitivni skup

Definicija:
Skup svih podskupova skupa A naziva se partitivni skup skupa A i obeležava se sa P(A).

 

Komplement skupa

Unija , presek i razlika su binarne skupovne operacije, dok je komplement skupa unarna operacija.

Definicija:
 To je skup svih elemenata koji nisu sadržani u posmatranom skupu.
Komplement najčešće obeležavamo sa Ac

Ac={xΙ x∉ A}

Dekartov proizvod 

Dekartov proizvod skupova je skup: AxB={(x,y)Ιx∈A ∧ y∈B}
Treba voditi računa da A×B≠B×A

 

Zadaci:

Skupovi zadaci

 

Zadatak 2

Odrediti  elemente  skupova  A,  B,  C,  ako  je  AU B U C =  {1,2,3,4,5, 6 }  ,  (A ∩ C)U (B∩ C) = ∅ ,  AB ={1,3,5}  , C B = (2,4) i(A∩B)C ={6 }.

AU B U C =  {1,2,3,4,5, 6 } Unija svih skupova nam daje informaciju koji elementi mogu biti u skupovima A,B, ili C.

(A ∩ C)U (B∩ C) = ∅ -prazan skup , osenčeno na slici nema elemenata.

Skupovi zadatak 2
Skupovi zadatak 22

 

AB ={1,3,5} – na slici je osenčen plavo deo razlike skupova A i B u kom mogu biti brojevi poštujući prethodni uslov

 

C B = (2,4)  i  (A ∩ C)U (B∩ C) = ∅ osenčeni deo slike zadovoljava ova dva uslova i u tam delu su elementi 2 i 4.

Skupovi zadatak 23
Skupovi zadatak 24

 

(A∩B)C ={6 }.

 

Rešenje zadatka

A={1,2,5,6},

B={6},

C={2,4}.

Skupovi zadatak 25

 Zadatak 3

Dati sa skupovi A, B i  C. Dokaži da važi:A(BUC)= (AB)(AC).

Dokaz:

Da bi dokazali tvrđenje zadatka neophodno je da znamo definicije skupovnih operacija i neke zakone zaključivanja:

A(BUC)= (AB)(AC).

x∈A(BUC)⇔x∈A∧x∉(BUC)⇔   po definiciji razlike dva skupa

⇔x∈A∧¬x∈(BUC)⇔                   x∉ menjamo sa ¬x∈

⇔x∈A∧¬(x∈B ∨ x∈C)⇔              po definiciji unije dva skupa

⇔x∈A∧(x∉B ∧ x∉C)⇔                DeMorganov zakon ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

⇔(x∈A∧x∉B) ∧ x∉C⇔               zakon asocijacije p ∧ (q ∧ r ) ⇔ (p ∧ q) ∧ r

⇔(x∈A∧x∉B) ∧ x∉C∧x∈A⇔      x∈A  i x∈A ∧ x∈A su ekvivalentni iskazi

⇔(x∈A∧x∉B) ∧(x∈A∧ x∉C)⇔ 

⇔(x∈AB) ∧(x∈AC)⇔               po definiciji razlike dva skupa

⇔(x∈(AB) ∩(AC)⇔                  po definiciji preseka dva skupa

 

 

 

Zadatak 4

Dati su skupovi A, B, i C. Dokaži tvrđenje (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C).

x∈ (AUB)∩C⇔x∈ (AUB)∧x∈C⇔

⇔(x∈ A∨x∈B)∧x∈C⇔            po zakonu distribucije  p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ),

⇔(x∈ A∧x∈C)∨(x∈B∧x∈C)⇔

⇔(x∈ A∩C)∨(x∈B∩C)⇔

⇔x∈(A∩C)U(B∩C)

Povratak na stranu Matematička logika i skupovi