Geometrija važne teoreme
Definicije i teoreme preuzete iz Geometrije za prvi razred Matematičke gimnazije
Autori: Milan Mitrović, Srđan Ognjanović,Mihailo Veljković, Ljubinka Petković,Nenad Lazarević
Podudarnost duži
Teorema 1. (A,B)≅(A‘,B‘)⇔AB≅A‘B‘.
Definicija. Tačka S je središte duži AB ako pripada toj duži i važi AS≅SB.
Teorema 2. Za svaku duž postoji jedinstveno središte.
Definicija. Duž AB je manja od duži CD u oznaci AB<CD ako unutar duži CD postoji tačka E takva da je AB≅CE. Takođe u tom slučaju kažemo i da je duž CD veća od duži AB u oznaci CD>AB.
Definicija. Duž EF jednaka je zbiru duži AB i CD u oznaci EF=AB+CD ako unutar duži EF postoji tačka G takva da je AB≅EG i CD≅GF.
Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti
pravih
Teorema 1. Dva konveksna (ili konkavna) ugla pOq i p‘O‘q‘ su podudarna ako i samo ako na kracima p, q, p‘, q‘ redom postoje tačke P, Q, P‘, Q‘ takve da je: (P,O,Q)≅(P‘,O‘,Q‘).
Teorema 2. Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
Teorema 3. Za svaki ∠pq i svaku polupravu p‘ neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži p‘, jedinstvena poluprava q‘ takva da je ∠pq≅∠p‘q‘.
Definicija. Poluprava s, sa početnom tačkom O koja pripada uglu pOq i takva da je ∠ps≅∠sq naziva se bisektrisa ugla pOq. Prava koja sadrži polupravu s naziva se simetrala tog ugla.
Teorema 4. Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu.
Definicija. Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci ∠AOB<∠CSD ako unutar ugla CSD postoji poluprava SE takva da je ∠AOB≅∠CSE. U tom slučaju kažemo i da je ugao CSD veći od ugla AOB u oznaci ∠CSD>∠AOB.
Definicija. Ugao pOq je zbir uglova aSb i a‘S‘b‘ u oznaci: ∠pOq =∠aSb+∠a‘S‘b‘, ako unutar ugla pOq postoji poluprava r sa početnom tačkom O tako da je ∠pOr≅∠aSb i ∠rOq≅∠a‘S‘b‘.
Definicija. Za konveksni ugao kaže se da je prav, oštar ili tup u zavisnosti od toga da li je on podudaran, manji od ili veći od svog naporednog ugla.
Definicija. Uglovi α i β su suplementni ako im je zbir opruženi ugao.
Definicija. Uglovi α i β su komplementni ako im je zbir prav ugao.
Teorema 5. Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
Teorema 6. Pravi uglovi su među sobom podudarni.
Definicija. Ako prave p i q sadrže redom krake OP i OQ nekog pravog ugla POQ, tada kažemo da je prava p normalna (upravna, ortogonalna) na pravoj q u oznaci p⊥q.
Teorema 7. Za svaku pravu p i svaku tačku A neke ravni postoji jedinstvena prava n u toj ravni koja sadrži tačku A i upravna je na pravoj p.
Definicija. Neka je tačka S središte duži AB. Prava koja je u tački S normalna na pravoj AB naziva se medijatrisa ili simetrala duži AB.
Podudarnost trouglova
Stav 1. (SSS) Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj.:
AB≅A‘B‘, BC≅B‘C‘, AC≅A‘C‘ Þ ΔABC≅ΔA‘B‘C‘
Stav 2. (SUS) Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj:
AB≅A‘B‘, AC≅A‘C‘, ∠BAC≅∠B‘A‘C‘ ÞΔABC≅ΔA‘B‘C‘
Stav 3. (USU) Dva trougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj:
BC≅B‘C‘, ∠ABC≅∠A‘B‘C‘, ∠ACB≅∠A‘C‘B‘ Þ ΔABC≅ΔA‘B‘C‘
Lema 1. Naspram podudarnih ivica nekog trougla su podudarni uglovi i obratno, naspram podudarnih uglova trougla su podudarne ivice.
Stav 4. (SSU) Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i odgovarajućim uglom drugog trougla, a uglovi naspram drugih dveju pomenutih ivica su oba oštra oba prava ili oba tupa.
Uglovi na transverzali. Zbir uglova u trouglu.
Teorema 1. Neka su A, B, P, Q četiri tačke jedne ravni takve da je P,Q AB i ω opruženi ugao. Tada važi ekvivalencija: AP||BQ ⇔ ∠PAB+∠QBA= ω.
Teorema 2. (O uglovima sa paralelnim kracima.) Neka su pOq i p‘Oq‘ dva konveksna ugla neke ravni sa kracima takvim da je p||p‘ i q||q‘. Tada:
- Ako su oba ugla oštra ili oba tupa tada su oni podudarni.
- Ako je jedan ugao oštar a jedan tup tada su oni suplementni.
Teorema 3. Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je opruženom uglu. Tj. ako su α, β, γ unutrašnji uglovi nekog trougla, tada je: α+β+γ=180º.
Posledica 1. Spoljašnji ugao nekog trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla tog trougla.
Posledica 2. Spoljašnji ugao nekog trougla veći je od svakog nesusednog unutrašnjeg ugla tog trougla.
Teorema 2. (O uglovima sa normalnim kracima.) Neka su pOq i p‘Oq‘ dva konveksna ugla neke ravni sa kracima takvim da je p⊥p‘ i q⊥q‘. Tada:
- ako su oba ugla oštra ili oba tupa oni su podudarni;
- ako je jedan ugao oštar a jedan tup oni su suplementni.
Nejednakost trougla
Teorema 1. Naspram veće ivice u trouglu je veći ugao tog trougla i obratno, naspram većeg ugla trougla je veća ivica.
Teorema 2. (Nejednakost trougla) Zbir dve ivice trougla veći je od treće.
Četvorougao, paralelogram, srednja linija trougla
Definicija. Četvorougao ABCD je trapez ako je AB||CD. Ivice AB i CD su osnovice, a BC i AD kraci tog trapeza. Trapez je jednakokraki ako je BC≅AD i nije BC||AD, a pravougli ako je jedan njegov unutrašnji ugao prav.
Definicija. Četvorougao ABCD je paralelogram ako je AB||CD i AD||BC.
Teorema 1. Neka je ABCD konveksan četvorougao. Tada su sledeći iskazi
ekvivalentni:
- četvorougao ABCD je paralelogram.
- Svaka dva susedna unutrašnja ugla četvorougla, su suplementni uglovi.
- Parovi naspramnih uglova četvorougla su parovi podudarnih uglova.
- AB||CD i AB≅CD13.
- AB≅CD i AD≅BC.
- Dijagonale četvorougla se uzajamno polove tj. AC i BD imaju zajedničko središte.
Definicija:
- četvorougao kod koga su sve ivice podudarne naziva se romb.
- četvorougao kod koga su svi unutrašnji uglovi podudarni i jednaki 90o naziva se pravougaonik.
- četvorougao kod koga su sve ivice podudarne i svi unutrašnji uglovi podudarni naziva se kvadrat.
Teorema 2.
- Paralelogram je romb ako su mu dijagonale međusobno normalne.
- Paralelogram je pravougaonik ako su mu dijagonale međusobno podudarne.
- Paralelogram je kvadrat ako su mu dijagonale međusobno normalne i podudarne.
Pojam kvadrata uklapa se u opštu definiciju specijalne vrste mnogouglova:
Definicija: Mnogougao je pravilan ako su mu sve ivice i svi unutrašnji uglovi međusobno podudarni.
Definicija :Duž čije su krajnje tačke središta dveju ivica nekog trougla naziva se srednja linija tog trougla koja odgovara njegovoj trećoj ivici.
Teorema 4. (O srednjoj liniji trougla) Ako su P i Q središta ivica AB i AC redom tada je: \( PQ=\frac{1}{2} BC ~~i~~ BC||PQ. \)
Značajne tačke trougla
Teorema 1. (O centru opisanog kruga) Medijatrise ivica nekog trougla seku se u jednoj tački.
Teorema 2. (O centru upisanog kruga) Bisektrise unutrašnjih uglova trougla seku se u jednoj tački.
Definicija. Prava p neke ravni je tangenta kruga k te ravni u tački T ako je T njihova jedina zajednička tačka. Kaže se da u tom slučaju prava p dodiruje krug k u tački T.
Teorema 3. Neka je T tačka kruga k(O,r). Prava je PT tangenta tog kruga u tački T akko je PT⊥TO.
Definicija. Duž čija je jedna krajnja tačka teme trougla a druga središte naspramne ivice naziva se težišna duž tog trougla.
Definicija. Duž čija je jedna krajnja tačka teme trougla a druga podnožje upravne iz tog temena na pravoj određenoj naspramnom ivicom naziva se visina tog trougla.
Teorema 4. (O težištu) Težišne duži trougla seku se u jednoj tački, koja ih deli u odnosu 2:1, i to tako da je \( AT=2TA_{1} \); gde su: eme trougla, \( A_{1} \) središte naspramne ivice i T ta presečna tačka.
Teorema 5. (O ortocentru) Prave određene visinama nekog trougla seku se u jednoj tački.
Teorema 6. Centar opisanog kruga pravouglog trougla je središte njegove hipotenuze.