Ako želimo da ispitamo tok i nacrtamo grafik funkcije y=sinx, treba da odredimo : oblast definisanost, nule, znak, period, monotonost, ekstremne vrednosti.
Podestićemo se šta smo naučili na strani Osnovne trigonometrijske funkcije.
Kao osnovne trigonometrijske funkcije navodimo y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.
Sve osnovne trigonometrijske funkcije su periodične , ali ime se osnovni period razlikuje i to sinx i cosx su sa osnovnim periodom 2π, a tgx i ctgx sa osnovnim periodom π.
Prema definisanosti osnovne trigonometrijske funkcije možemo podeliti na dve grupe :
- sinx i cosx su definicani \( D_f: x∈ (-∝,∝)\) i neprekidne su
- tgx \( D_f: ∀x∈R\) \ \(( π/2+kπ)\), i ctgx \( D_f: ∀x∈R\)\ \(( 0+kπ)\) i kažemo da su ove funkcije prekidne.
U ispitivanju toka funkcije y=sinx važne su sledeće tačke
- Oblast definisanosti(vrednosti promenljive za koje je funkcija ima konačne vrednosti) Specijalno ovu funkciju posmatramo na intervalu (0,2π) i vidimo da je na tok intervalu definisana za sve vrednosti α ∈(0,2π)
- Nule funkcije: (preseci grafika funkcije sa x-osom) y=0, za α=0, α=π, α=2π
- Znak funkcije: (grafik funkcije iznad x ose y>0 ili ispod x-ose y<0)
y>0, za α iz intervala (0, π)
y<0, za α iz intervala (π,2π)
- Monotonost funkcije: funkcija monotono raste za α iz intervala \( (\frac{-π}{2}, \frac{π}{2}) \)funkcija monotono opada za α iz intervala \( (\frac{π}{2}, \frac{3π}{2}) \)
- Ekstremne vrednosti: maksimalna vrednost funkcije je 1 za α= \( \frac{π}{2} \). Minimalna vrednost funkcije je -1 za α= \( \frac{3π}{2} \).
- Ograničenost funkcije: funkcija je ograničena -1<f(x)<1.
Do ovih zaključaka smo došli konstrukcijom funkcije y=cosx isčitavanjem njenog toka sa grafika.
Neke od stavke kao što su nule funkcije i ekstremne vrednosti uradićemo na drugi način.
Rešavamo jednačinu f(x)=0 da bi odredili sve nule funkcije.
\( sinx=0 \iff sinx=0\iff x=0+kπ\) (pogledaj stranu Osnovne trigonometrijske jednačine)
Odredićemo nekoliko nula funkcije
za \( k=0,~~ x_0=0 \)
za \( k=1,~~ x_1=0+π=π\)
za \( k=2,~~ x_2=0+2π=2π…\)
za \( k=10,~~ x_{10}=0+10π.\)
Grafik funkcije y=sinx -tražimo maksimum i minimum
Rešavamo jednačinu \( sinx=1\iff x=\frac{π}{2}+2kπ \). Odredili smo apscise maksimuma, a ordinata je 1. Uopšteno to su tačke čije su koordinate y_{max}(\frac{π}{2}+2kπ,1).
za \( k=0~~ max_0=\frac{π}{2}\)
za \( k=1 ~~max_1=\frac{5π}{2}\)
za \( k=2 ~~max_2 =\frac{9π}{2}\)
Analogno određujemo minimu funkcije.\( sinx=-1\iff x=\frac{3π}{2}+2kπ \). y_{min}(\frac{3π}{2}+2kπ,-1).
za \( k=0~~ min_0=\frac{3π}{2}\)
za \( k=1~~ min_1=\frac{3π}{2}+2π=\frac{7π}{2}\)
za \( k=2 ~~min_2 =\frac{3π}{2}+4π=\frac{11π}{2}\)
Za π=3.14 grafik funkcije y=sinx izgleda ovako.
