Šta je inverzna funkcija?
Funkcija f:A→ B je :
- 1-1 funcija (jedan na jedan), ako je za svako x1 ,x2 iz A tačna implikacija x1≠x2⇒ f(x1)≠ f(x2), f(x1)=f(x2)⇒x1=x2
- Na funkcija, ako za svako y iz B postoji x iz A tako da je f(x)=y
- Bijekcija ako je 1-1 funkcija i na funkcija
Ako je f:A→B bijektivna funkcija , tada je inverzna funkcija za f funkcija f-1:B→A takva da za svako x iz A važi f-1(f(x))=x i za svako y iz B važi da je f(f-1 (y))=y. Grafici inverznih funkcija simetrični su u odnosu na simetralu prvog i trećeg kvadranta ( y=x ).
Primer 1: Ako je \( f(x)=\frac{x+1}{x-1} \) izračunaj \( f^{-1}(x) \).
\( f^{-1}(f(x))=x \) menjamo \( f(x) \) sa \(\frac{x+1}{x-1} \)
\( f^{-1}\Big (\frac{x+1}{x-1}\Big)=x \) rešavamo funkcionalnu jednačinu uvodeći smenu \(\frac{x+1}{x-1}=t \)
\(\frac{x+1}{x-1}=t \) cilj nam je da izrazimo x u zavisnosti od t
\( x+1=t(x-1) \)
\( x+1=tx-t \)
\( x-tx=-t-1 \)
\( x(1-t)=-(t+1) \)
\( x=\frac{t+1}{t-1} \) vraćamo se u polaznu jednačinu za izračunavanje inverzne funkcije,
\( f^{-1}(t)=\frac{t+1}{t-1}\) odnosno izraz
\( f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-1} \) je tražena inverzna funkcija.