Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

\begin{equation}{\color{darkblue}{ \text{Neka je dat kompleksan broj u algebarskom obliku} \\z=x+yi , x=Re(z), y=Im(z) , i^2=-1.\\ \text{ Predstavićemo broj z u kompleksnoj ravni.}\\ } } \end{equation}

\begin{equation} {\color{darkblue}{\text{Iz navedenih jednačina izvodimo trigonometrijski oblik kompleksnog broja}\\ z=r\cos\varphi+ir\sin \varphi\\ z=r(\cos \varphi+i\sin\varphi).\\ \text{Kako su trigonometrijske funkcije periodične to kompleksni broj možemo pisati kao}\\ z=r(\cos (\varphi+2k\pi)+i\sin (\varphi+2k\pi))\\ x^2+y^2=r^2\cos^2 \varphi+r^2\sin^2 \varphi=r^2(\cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi)=r^2\\ r \text{ je moduo kompleksonog broja. Ugao }\varphi\text{ naziva se argument komplekosnog broja.}\\ \text{Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je pogodan za stepenovanje i korenovanje kompleksnih brojeva }\\ \text{odnosno za rešavanje jednačina u skupu kompleksnih brojeva.}}} \end{equation}

\begin{equation}{\color{darkblue}{ \text{Stepenovanje kompleksnih brojeva}\\ \text{Neka je dat kompleksni broj } z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) . \\ \text{Onda je } z^n=r^n ( \cos n\varphi+i \sin n\varphi )\\ \text{ Ako kompleksni broj ima modul 1, tj. ako je r=1 onda je:} z^n= \cos n\varphi+i sin n\varphi \text{ Moavrov obrazac.}}}\\ \end{equation}

\begin{equation}{\color{darkblue}{ \Large{\text{Trigonometrijski oblik kompleksnog broja primeri }}\\ \text{Izračunaj } z^{20} \text{, ako je } z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.\\ \text{Izračunaćemo } r=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\\ r=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1\\ \text{Treba odrediti argument kompleksnog broja } \varphi }} \end{equation}

\begin{equation}{\color{darkblue}{ \tan\varphi=\frac{y}{x}=\frac{\frac{-sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\qquad \cos\varphi=\frac{x}{r}=\frac{\frac{1}{2}}{1}\qquad \sin\varphi=\frac{y}{x}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\\ \text{Izračunali smo potrebne trigonometrijske funkcije argumenta kompleksnog broja čiji stepen tražimo.}\\ \text{ Ugao }\varphi\text{ pripada drugom ili četvrtom kvadrantu zbog negativne vrednosti tangensa .}\\ \text{ Vrenost kosinusa je pozitivna a sinusa negativna što isključuje pripadnost drugom kvadrantu}.\\ \text{ Zaključujemo da je ugao pripada četvrtom kvadrantu. }\\ \varphi=-arctan\sqrt{ 3}\qquad \varphi=\frac{-\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\\ \text{napisaćemo trigonometrijski oblik kompleksnog broja } z=r(\cos\varphi+isin\varphi)\\ \text{ primenom Moavrove formule dobijamo}\\ z^{20}=1^{20}(\cos 20\frac{5\pi}{3}+isin 20\frac{5\pi}{3})}} \end{equation}