Šta je kružnica a šta krug? Kako glasi jednačina kružnice?

Kružna linija (kružnica) je skup tačaka u ravni sa osobinom da su sve jednako udaljene od jedne stalne tačke. Ta stalna tačka je centar kružnice, a konstantno rastojanje tačaka od centra je poluprečnik kružnice. Krug je skup tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje tih tačaka od jedne stalne tačke manje ili jednako od neke konstante (krug je unija kružne linije i tačaka iz unutrašnjosti). Jednačina kružnice predstavlja rastojanje između centra kružnice i tačke na kružnici.

 

Rastojanje r, tačke M(x,y) od centra kruga C(p,q) računa se Na osnovu Pitagorine teoreme

(x-p)2+(y-q)2=r2

Ako je centar kruga u koordinatnom početku C(0,0) onda je njegova jednačina

x2+y2=r2

Jednačina kružnice 

primer 1.

 
Odrediti jednačinu kruga ako je dat centar C(-4,3) i tačka koja pripada krugu M(-1,-1).
r = MC

r2=(-1+4)2+(-1-3)2

pa je jednačina kruga (x+4)2+(y-3)2=25

Jednačina krive drugog reda u opštem obliku glasi  Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, a jednačina kruga u opštem obliku Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0.

Koeficijenti uz kvadratne članove moraju biti jednaki i nema mešovitog člana Vhu. Jednačina se može podeliti sa A i dobija se jednostavniji oblik koji  uz kvadratne članove ima koeficijente jednake 1.

x2+y2+(D/A)x+(E/A)y+(F/A)=0

Ova jednačina se dopunjavanjem članova sa h i sa u do kvadrata binoma može svesti na kanonski oblik

(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4

uz uslov D2+E2-4F>0

Koordinate centra kruga i poluprečnik se mogu odrediti pomoću formula

P=-D/2,,  q=-F/2  r2=p2+q2-F

 
ili sprovođenjem opisanog postupka.
 
 

 primer 2.

Odrediti centar i poluprečnik kruga koji je dat jednačinom

x2+y2-6x+4y-23=0

Datu jednačinu kruga dopunimo do kvadrata binoma po h i po

x2-6x+32+y2+4y+22-32-22-23=0

(x-3)2+(y+2)2=36

Iz jednačine se pročitaju koordinate centra S(3,-2) i poluprečnik r = 6.

 

 

Jednačina kružnice

primer 3 3.

Odrediti jednačinu kruga koja sadrži tri tačke A(-2,-6), B(7,-3) i C(2,2).
 
 
Tačke pripadaju krugu čija je jednačina (x-p)2+(y-q)2=r2
Zamenom koordinata tačaka u jednačini kruga dobiće se sistem jednačina
kružnica određena sa tri taćke

A ∈k ⇒ (-2-p)2+(-6-q)2=r2

B ∈k ⇒ (7-p)2+(-3-q)2=r2

C ∈k ⇒ (2-p)2+(2-q)2=r2
————————————————
4+4p+p2+36+12q+q2=49-14p+p2+9+6q+q2

4+4p+p2+36+12q+q2=4-4p+p2+4-4q+q2
————————————————-
18p+q=18

8p+16q=-32
————————

Rešenja sistema su p=2, q=-3
 
Poluprečnik kruga se dobija zamenom koordinata centra kruga u nekoj od jednačina, na primer 
 

C ∈k ⇒ (2-2)2+(2+3)2=25
Jednačina datog kruga je (x-2)2+(y+3)2=25

Решење се могло добити и тако што се одреде симетрале две тетиве круга и у пресеку тих симетрала налази се центар круга.

Једначине симетрала су 

s1:2x-2y-10=0

s2:x+2y+4=0

Jednačina kružnice

primer 4.

Odrediti jednačinu kruga koji sadrži tačke A(-6,5) i B(2,1), a centar mu pripada pravoj   l: 2x-3y=-9
 
Zamenom koordinata tačaka u jednačini kruga i koordinata centra kruga C(p,q) u jednačini prave dobiće se sistem

A ∈k ⇒ (-6-p)2+(5-q)2=r2

B ∈k ⇒ (2-p)2+(1-q)2=r2

C(p,q) ∈l ⇒ 2p-3q=-9
————————————————
36+12p+p2+25-10q+q2=4-4p+p2+1-2q+q2

2p-3q=-9
———————————————————————-

 
Rešenja sistema su .p=-3,q=1 , C(-3,1)
 
Poluprečnik kruga se dobija zamenom koordinata centra kruga u nekoj od jednačina, na primer

r2=(2+3)2+(1-1)2=25

Jednačina datog kruga je (x+3)2+(y-1)2=25

 

Tangente kroz tačku koja pripada krugu

 
Neka je jednačina kruga K: (x-p)2+(y-q)2=r2
 
Jednačina tangente koja prolazi kroz tačku M(x0,y0) koja pripada krugu može se odrediti pomoću formulet: (x-p)(x0-p)+(y-q)(y0-q)=r2
 

 

Kružnica i prava primer 1.

Odrediti jednačinu tangente kruga K: x2+y2+4x-4y-17=0   koja sadrži tačku M(1,y<0)  .
 
Treba odrediti ordinatu tačke М∈K⇒ 1+y2+4-4y-17=0
 
y2-4y-12=0, y1=6, y2=-2 , M(1,-2)
 
Jednačinu kruga treba svesti na kanonski oblik

K: x2+y2+4x-4y-17=0  

(x+2)2+(y-2)2=25
p=-2, q=2, r=5, x0=1, y0=-2

Zamenom dobijenih vrednosti u obrazcu za jednačinu tangente dobija se
 
T:(x+2)(1+2)+(y-2)(-2-2)=25
 
Jednačina tangente je t: 3x-4y-11=0
 
 
 
 

Povratak na stranu Analitička geometrija