Linearna diferencne jednačine sa kostantnim koeficijentima
Pojam rekurzije potiče iz matematike i ima veliku primenu u programiranju. U matematičkom smislu rekurzija predstavlja definisanje problema uz pomoć samog tog problema. U matematici postoji veliki broj primera rekurzije, a najpoznatiji su Fibonačijevi brojevi koji se definišu na sledeći način: F(n) = F(n-1)+F(n-2).
Ovaj izraz znači da se n-ti fibonačijev broj izračunava kao zbir n-1-og i n-2-og fibonačijevog broja, koji se opet izračunavaju na isti način kao n-ti broj.
U matematici, diferencna jednačina je jednačina koja rekurzivno definiše niz ili multidimenzionalni red vrednosti, jednom kada je jedan ili više početnih uslova dato: svaki sledeći član niza ili reda je definisina kao funkcija prethodnih uslova.
Termin diferencna jednačina se ponekad odnosi na specifičan tip rekurzivne relacije. Međutim, „diferencna jednačina“ se često odnosi na sve tipove rekurzivnih relacija.
Diferencne jednačine -tipovi
Ako su \( f_k(n) \) u diferencnoj jednačini konstante, onda je linearna diferencna jednačina reda k sa kostantnim koeficijentima.
Ako su koeficijenti označeni sa \(b_k\), tada je \(b_k a_{n+k}+b_{k-1} a_{n+k-1}+b_{0} a_{n}=F(n) \) linearna diferencna jednačina jednačina reda k sa konstantnim koeficijentima. Odgovorajuća homogena diferencna jednačina je \( b_k a_{n+k}+b_{k-1} a_{n+k-1}+b_{0} a_{n}=0\).
za \( k=2 \), b_2a_{n+2}+b_1a_{n+1}+b_0a_n=F(n) \) diferencna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
za \( k=2 \), \( b_2 a_{n+2}+b_1 a_{n+1}+b_0 a_n=0\) homogena diferencna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
Rešenje homoge nejednačine tražimo u obliku \( a_n = λ^n \). Otuda je \(b_2λ^{n+2} + b_1λ^{n+1} + b_0λ^n =0 \) odakle je karakteristična jednačina \( b_2λ^2 + b_1λ + b_0 = 0\):
Prema rešenjima karakteristične jednačine razlikujemo tri slučaja:
- Neka su rešenja jednačine realna i različita. Tada je opšte rešenje jednačine \( a_n = C_1λ_1^n +C_2λ_2^n \)
- Neka su rešenje jednačine realna i jednaka, tj., \( λ_1 = λ_2\). Tada je opšte rešenje jednačine dato sa dato sa \(a_n = C_1λ_1^n +C_2nλ_2^n \)
- Neka su rešenja jednačine kompleksna, tj., \(λ_{1,2} = α ± iβ = r(cos φ ± isin φ) \). Tada je opšte rešenje jednačine dato sa \(a_n=C_1\left(α + iβ \right) ^n +C_2\left(α- iβ \right)^n \) ili \(a_n = C_1 cos nφ + C_2 sin nφ \)