Algebra

Koren

Kvadratni koren je unarna matematička operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je , i čita se kao „koren iz x.

Potpuno ispravno bi bilo da pišemo ${displaystyle {sqrt[{2}]{x}}}$ i izgovaramo, „kvadratni koren od x“.

Kvadratni koren broja x je nenegativan broj koji pomnožen sam sobom daje x.

Za svaki pozitivan broj x postoje tačno dva realna broja čiji su kvadrati jednaki broju x. Jedan od tih brojeva je pozitivan a drugi negativan.

Koren iz 0 jednak je 0.

Kubni koren broja x je broj čiji je kub jednak broju x.

Na sličan način se definiše i n-ti koren

\begin{equation} {\color{darkblue}{\Large{\text {Stepen čiji je izložilac racionalan broj osobine }} \\ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}, a>=0\\ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\\ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m+n]{a}\\ \sqrt[n]{a}\sqrt[m]{a}=\sqrt[m\cdot n]{a^{m+n}}\\ \sqrt[n]{a}=\text{a ako je n neparan broj ili apsolutno a ako je n paran broj}\\ \sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m} \text{Moramo naglasiti da pravila važe pod uslovima da je: a, b pozitivni realni brojevi a m,n, p → prirodni brojevi. }\\ }} \end{equation}

\begin{equation} {\color{darkblue} {\Large{\text {Lagranžov identitet }} \\ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}}} \end{equation}

\begin{equation} {\color{darkblue}{ \text { Uradićemo nekoliko elementarnih primera.} \\ \text { Primer 1}.\sqrt[2]{5^2} = 5 \qquad \sqrt[2]{(-5)^2} = 5 \qquad \sqrt[3]{3^3} = 3\qquad \sqrt[3]{(-3)^3} = -3\qquad \sqrt{x^2} = |x|\\ \text{ Primer 2. Izračunaj } a\sqrt{128}.\\ a\sqrt{128} = a\sqrt[2]{2^6} = a\cdot 2^{\frac{6}{2}} \\ \text{ Primer 3. Izračunaj } 4\sqrt{8a^3}.\\ 4\sqrt{8a^3} = 4\sqrt{2^3\cdot a^3} = 4\sqrt{2^{2+1}\cdot a^{2+1}} = 4 \sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a}=4\cdot 2\cdot\sqrt{2} \cdot a \cdot\sqrt{a} = 8a\cdot \sqrt{2a} }} \end{equation}

Zadatak 1: Izračunaj vrednost izraza, koristeći pravila korenovanja.